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quiera del eje y cada uno de los dos medios rayos en que queda dividido 

 por aquel punto. Un plaño perpendicular al eje en un punto P es doble, y si 

 A y Ai son dos puntos homólogos se corresponden los dos medios rayos 

 PA y PAi, y al medio plano PAA X corresponde el adyacente del PAíA. 

 Por tanto, se verifica que 



f) Todo movimiento que tiene doble un punto y un medio rayo que 

 parte de él, es un giro que puede reducirse auna simetría, cuyo eje es la 

 recta que contiene el dicho medio rayo. Una simetría respecto de un 

 eje es, pues, un giro con este mismo eje. 



g) Todo movimiento en el que es fijo un punto P y un plano ¡3 que 

 pasa por él, correspondiéndose los medios rayos de este plano PA y PA X y 

 al medio plano PAAj el medio plano adyacente del PAíA es un giro en 

 torno de un eje perpendicular al plano p en el punto fijo P. 



En la simetría, respecto del eje p, si A-A x es un par de puntos homó- 

 logos y P un punto del eje, el plano PAAí es doble y correspondientes los 

 medios rayos PA-PA 1? y también los medios planos PAAj y PAíA; luego 



h) Todo movimiento en el que son fijos un punto P y un plano p que 

 le contiene, correspondiéndose en este plano los dos medios rayos PA y 

 PA X y los dos medios planos PAA X y PA t A es una simetría cuyo eje está 

 en el plano. 



Cuando, en un movimiento, un punto es fijo es la identidad, cuando 

 sea doble la figura del plano absoluto, o es una colineación en la cual 

 existe otro plano doble que pasa por el dicho punto; luego de lo dicho 

 en g) y h) se concluye que 



i) Todo movimiento en el que un punto es fijo es un giro en torno de 

 un eje que pasa por dicho punto. 



Ahora bien: si A — A x es un par de puntos homólogos en un movi- 

 miento M cualquiera, y designamos por T la traslación AA t , en el mo- 

 vimiento T-^M el punto h x es fijo y, por tanto, es un giro Q, es decir, 

 que se verifica la igualdad 



T-iM = G, 

 de donde 



TT-W = TQ, 

 o sea, 



M = TG, 

 lo que prueba, que 



j) Todo movimiento es el producto de la traslación determinada pof 

 un punto y su homólogo, por un giro alrededor de un eje que pasa por 

 este punto. 



29. El producto de dos simetrías S y S l5 respecto de dos planos a y a lv 



