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es, desde luego, una nomografía en la que son invariantes el sistema 

 polar absoluto y el módulo de cada vector; además, si P y P x son dos te- 

 traedros homólogos en la primera simetría y Pi-P 2 son homólogos en la se- 

 gunda, en la simetría SSj, producto de ambas, son homólogos P y P 2 , y 

 como P y Pi son de sentidos contrarios, y también son de sentidos contra- 

 rios Pi y P 2 , son del mismo sentido P y P 2 . Por otra parte, los puntos de 

 la intersección r de los dos planos a y 04 son dobles; luego si esta recta es 

 propia, el movimiento SSi es un giro en torno de esta recta como eje, 

 y si r no es recta propia, es decir, está en el plano absoluto, también es 

 doble el polo absoluto R de esta recta, y, por tanto, las dos simetrías o 

 colineaciones involutivas, tienen como centro común al citado punto, lo 

 que prueba que el producto de las dos simetrías S y Si es una traslación, 

 cuyo plano central es el absoluto, y cuyo centro es el punto R. 



Y, recíprocamente, si M es el movimiento SSi se tiene la igualdad 



SSi = M; 

 de donde 



S 2 Si = SM, 



o sea, 



Si = SM. 

 Por tanto, 



a) El producto de dos simetrías, respecto de dos planos cuya inter- 

 sección es una recta propia, es un giro G en torno de esta recta, giro que 

 es una simetría cuando los planos de simetría son perpendiculares entre sí 

 Y, recíprocamente, un giro puede engendrarse de infinidad de maneras 

 por pares de simetrías, cuyos planos centrales pasan por el eje. 



b) El producto de dos simetrías respecto de dos planos paralelos, 

 es una traslación cuyo centro es el polo absoluto de la recta absoluta de 

 aquellos planos, y, recíprocamente, toda traslación es el producto de una 

 simetría cuyo plano central es cualquiera de los que pasan por la polar 

 absoluta del centro de la traslación, por otra simetría cuyo plano ocupa 

 igual posición que el anterior. 



En ambos casos, todo plano a 2 perpendicular a los dos planos centrales 

 a y 04, es doble, y también son dobles las rectas a y a t de intersección de 

 estos planos con aquél, y si M y M ± y S 2 son las simetrías, respecto de 

 a, a i y a 2 , se verifican las igualdades 



M = SS 2 , Mj == SaSii 



de las que se deduce que 



MMj = SS,^ = SSiJ 

 luego 



