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c) Todo giro es el producto de dos simetrías respecto de dos ejes 

 perpendiculares en el mismo punto al eje de giro, y recíprocamente, el 

 producto de dos simetrías respecto de dos ejes que se cortan fuera del 

 plano absoluto, es un giro cuyo eje es perpendicular al plano determinado 

 por los ejes de las citadas simetrías en su punto de intersección. 



d) Toda traslación es el producto de dos simetrías respecto de dos 

 ejes paralelos perpendiculares, a las rectas que pasan por el centro de la 

 traslación, y recíprocamente. 



Ahora bien: si A-Aj son dos puntos homólogos en un movimiento 

 cualquiera M, se verifica que 



M = TG, 



siendo T la traslación AAi y G un giro en torno de un eje p 1 que pasa 

 por el punto A^ Sea a x la perpendicular al plano hp x en el punto A l5 

 y designemos por Si la simetría respecto de esta recta; sean asimismo 

 S y S 2 las simetrías respecto de los ejes a y a<¿, que junto con la Si compo- 

 nen respectivamente la traslación T y el giro G; se verifican las igualdades 



T = SSi y G = SiSo, 

 de donde 



M = TG = SSrS 2 = SS 2 , 



por serSi 2 la- identidad; luego 



e) Un movimiento cualquiera que no es traslación ni giro, es el 

 producto de dos simetrías respecto de ejes que se cruzan. 



Las tres proposiciones anteriores pueden encerrarse en una, dicien- 

 do que 



f) Todo movimiento es el producto de dos simetrías respecto de 

 dos ejes. 



Cuando el movimiento M no es traslación ni giro, los eje a y ¿z 3 de 

 estas simetrías se cruzan; y si p es la perpendicular común a estos dos 

 ejes y S 3 la simetría respecto del eje a B , paralelo al a trazado por el punto 

 üíP de intersección de las rectas a x y p, se verificarán las igualdades 



S = T'S 3 , 

 siendo T' una traslación cuyo centro es el punto absoluto de la recta/?, y 



Si — S 3 G', 



siendo G' un giro en torno de la misma recta p ; luego 



M = SSi = T'S 3 2 G' - T'G', 

 y por tanto, 



