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g) Todo movimiento es el producto de una traslación por una rotación 

 cuyo eje pasa por el centro de la traslación. Este movimiento se llama 

 helicoidal; por lo cual puede enunciarse este teorema 



h) Todo movimiento es una traslación, una rotación o un movimiento 

 helicoidal. 



30. Ya hemos visto (26) que el producto de varias traslaciones es 

 una traslación cuyo vector correspondiente es la suma de los vectores que 

 corresponden a los factores. 



Sean G x y G 2 dos rotaciones de ejes ^ya,. Si estos ejes se cortan 

 en un punto propio A, el producto G x G 2 es un giro G en torno de un eje a 

 que pasa por A, por ser doble este punto; y el eje a de la rotación resul- 

 tante puede obtenerse observando que 



G x = S Pí S p , 



siendo S¿?y S Pl dos simetrías respecto de dos ejes/? y p±, perpendicula- 

 res en el punto A a la recta a l5 uno de los cuales, el p, es perpendicular 

 al plano a x a 2 : asimismo se verifica que 



siendo Sp 2 una simetría respecto de un eje p 2 perpendicular en el punto A 

 a la recta a 2 ; luego 



G^G 2 = S Pl Sp Sp 2 = Sp,Sp 2 = G, 



y el eje a de este giro es perpendicular en el punto A al plano p x p-¿. Es 

 digno de notar que los ejes a, a x y a 2 forman el triedro polar del pp t p 2 en 

 la radiación rectangular de vértice A. Luego 



a) El producto de varias rotaciones cuyos ejes concurren en un punto 

 propio es una rotación cuyo eje pasa por este punto. 



Cuando los ejes a x y a 2 son paralelos, los ejes p, p x y p 2 de las sime- 

 trías S/7, Spi y S P2 están en un plano perpendicular a las rectas a x y a 2 , 

 y p está en el plano. a x a 2 \ luego si p x y. p 2 se cortan fuera del plano abso- 

 luto, el producto 



GjGg = S^Spü 



es una rotación cuyo eje a es paralelo a los a t y a 2 ; pero si estos ejes 

 Pi y P% son paralelos el movimiento S^S^, es una traslación; por tanto, 



b) El producto de varias rotaciones de ejes paralelos es una rotación 

 de eje paralelo a las de los factores, o una traslación cuyo centro es con- 

 jugado con el punto absoluto de los dichos ejes en el sistema polar absoluto. 



Si los ejes a x y a 2 se cruzan, el movimiento GjGo es helicoidal, y su 



