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eje a es la perpendicular común a las dos rectas p 1 y p 2 ; siendo p la per- 

 pendicular común a los dos ejes a x y a 2 : luego, 



c) El producto de varias rotaciones cuyos ejes no concurren en un 

 mismo punto propio o impropio, es un movimiento helicoidal. 



V. — La métrica- pro yectiva general. 



31 . En la Métrica proyectiva, estudiada en los párrafos anteriores, el 

 absoluto es una involución elíptica en el plano y un sistema plano polar sin 

 directriz real en el espacio; mas, es claro que los conceptos establecidos 

 experimentan una mayor generalización ampliando el concepto del absoluto. 



Así, si tomamos como absoluto geométrico un sistema plano polar, en 

 el plano; un sistema polar de tercera categoría, en el espacio, se obtiene 

 otra rama de la Geometría métrica proyectiva; y de ella nos vamos a ocu- 

 par en lo que sigue, circunscribiéndonos a los dos casos que tienen más 

 importancia; a saber: cuando la cuádrica directriz del sistema polar, o sea 

 la cuádrica absoluta, es ordinaria o imaginaria, la Geometría correspon- 

 diente al primer caso la denominaremos Métrica proyectiva hiperbólica, 

 y a la que corresponde al segundo, la llamaremos Métrica proyectiva 

 elíptica, por ser generalizaciones de las Geometrías no eucledianas, de 

 igual denominación; es decir, de las Gíeometrías de Lobatschefski y de 

 Riemann. 



En la Métrica elíptica, todos los puntos, rectas y planos ocupan la 

 misma posición respecto de la cuádrica absoluta, y todos, por tanto, son 

 propios; pero no acontece lo mismo en la Métrica hiperbólica, en la cual 

 los puntos pueden ser interiores a la cuádrica absoluta, estar en esta cuá- 

 drica o ser exteriores a ella; y las rectas y los planos pueden ser secantes, 

 tangentes o exteriores. Pues bien: llamaremos propio al espacio ence- 

 rrado por la cuádrica absoluta; es decir, al conjunto de los puntos interiores; 

 e impropio, al conjunto de los puntos restantes. 



Según esto, una recta puede ser propia o impropia; una recta propia 

 contiene infinitos puntos de ambas clases; pero una recta impropia sólo 

 contiene puntos impropios; por tanto, 



a) Dos puntos propios, o uno propio y otro impropio, determinan una 

 recta propia. 



Asimismo, un plano propio contiene puntos y rectas propios e impro- 

 pios, y un plano impropio sólo contiene puntos y rectas impropios; luego, 



b) El plano determinado por tres puntos no alineados, es propio 

 cuando uno, al menos, de ellos, es propio. Si los tres puntos son impropios, 

 el plano que determinan puede ser propio o impropio. 



