- 365 — 



32. Dos rectas y dos planos, o una recta y un plano, se llaman proyec- 

 tivamente perpendiculares u ortogonales, cuando son conjugados en el sis- 

 tema polar absoluto. Según esto, se verifica que 



a) Por un punto no conjugado con una recta pasan infinitas rectas per- 

 pendiculares a la dada, todas las cuales se encuentran en el único plano 

 perpendicular a esta recta, trazado por el dicho punto. En la Geometría 

 hiperbólica, por todo punto propio pasa un solo plano perpendicular a una 

 recta propia, plano que es propio. 



b) Por todo punto pasa una sola recta perpendicular a un plano o una 

 infinidad, según que el punto sea distinto del polo absoluto o se confunda 

 con este polo. En la Geometría hiperbólica de dos elementos polares abso- 

 lutos, si uno de ellos es propio el otro es impropio; por tanto: por todo 

 punto propio pasa una sola recta perpendicular a un plano propio, recta que 

 es propia y está contenida en todos los planos perpendiculares al dado 

 trazados por el mencionado punto. 



c) Por una recta no perpendicular a un plano pasa un solo plano per- 

 pendicular a éste. 



Si dos rectas a y b se cruzan, sus polares absolutas a' y b' se cruzan 

 también: toda recta p que corta ortogonalmente a las a y b debe cortar 

 asimismo a las a' y b' , y también corta a estas cuatro rectas la polar abso- 

 luta p' de aquella recta p. 



Pero sabemos que no existe ninguna recta que corte a cuatro que se 

 cruzan: existe una sola, o dos, o una infinidad cuando las cuatro perte- 

 necen a un mismo haz alabeado; mas, en el caso actual, no puede existir 

 una sola recta que corte a las a, b, a' y b' , puesto que había de confundirse 

 con su polar absoluta lo que es imposible. 



Ahora bien: si p y p' son dos rectas polares absolutas que cortan a 

 las <2, b, a' y b', los planos ap y ap' son perpendiculares entre sí y cortan 

 a la recta b en los puntos asociados bp y bp' . Además, toda recta propia es 

 arista de un haz de planos perpendiculares, la cual es elíptica; luego los 

 puntos bp y bp' son los conjugados comunes a la involución absoluta de la 

 recta b y a la involución que esta recta determina en el haz de planos rec- 

 tangular de arista <?; y como esta última, por lo menos, es elíptica, existen 

 dos puntos conjugados comunes o una infinidad; luego, 



d) En la métrica hiperbólica existe una sola recta propia que corta 

 ortogonalmente a otras dos propias que se cruzan. 



En la Métrica elíptica existen dos rectas que cortan ortogonalmente a 

 otras dos que se cruzan, o existen'una infinidad. En el segundo caso, las 

 dos rectas dadas tienen sus perpendiculares comunes, y como esta propie- 

 dad caracteriza a las rectas paralelas en la Geometría ordinaria, de aquí 



