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que se llamen también paralelas, generalizando así el concepto de para- 

 lelismo del profesor Cliford. 



e) En la geometría elíptica, todo punto es vértice de una radiación 

 polar rectangular, sin cono director real; en la geometría hiperbólica gozan 

 de esta propiedad sólo los puntos propios. > 



33. Llamaremos igualdad, congruencia o movimiento, a toda homo- 

 grafía acorde, en la cual es invariante el sistema polar absoluto. Los movi- 

 mientos forman, pues, el subgrupo proyectivo de Cayley. 



Fijado un par de puntos homólogos A y A l5 y dos medios rayos homó- 

 logos que parten de ellos, se corresponden los puntos absolutos conteni- 

 dos en ellos, y también los contenidos en los medios rayos suplementarios; 

 por tanto, queda determinada la relación proyectiva entre las dos rectas 

 que contienen a los medios rayos. Si se dan además dos medios planos 

 homólogos que parten de estas dos rectas, la colineación entre los dos 

 planos que los contienen está determinada, toda vez que se correspondan 

 los polos absolutos de aquellas rectas en estos planos, y, por tanto, a otro 

 medio rayo que parte del punto A corresponde otro que parte del A l5 y 

 también queda determinada la relación proyectiva entre las correspon- 

 dientes rectas. Como también son homólogos en el movimiento los polos 

 absolutos de estos planos, se deduce que si P es un punto cualquiera, a la 

 cuádrica cp que pasa por él y por la, cónica absoluta del primer plano 

 corresponde otra <p' determinada, colineal con la ?, y como esta colineación 

 es acorde el punto P' homólogo del P está determinado. Por tanto, 



a) Un movimiento queda determinado por dos puntos homólogos, 

 dos medios rayos que parten de él y dos medios planos que parten de 

 las dos rectas que contiene a- estos medios rayos. Proposición* idéntica a 

 la establecida en el párrafo (27, d). 



Si en un movimiento son fijos todos los puntos de un plano, la colinea- 

 ción es una homología involutiva respecto de este plano, y cuyo centro es 

 el polo absoluto del mismo plano o la identidad; pero un sistema homo- 

 lógico en involución es una homografía discorde; luego ha de ser la 

 identidad. 



Una homología involutiva uno de cuyos elementos centrales es pro- 

 pio, se llama simetría respecto de este elemento, cuando son polares 

 absolutos entre sí. Por tanto, 



b) Una simetría proyectiva respecto, de un plano o respecto de un 

 centro, no es un movimiento. 



Cuando en un movimiento son dobles o fijos los puntos de una recta p 

 que se cruza con su polar absoluta p' ', también son dobles los planos del 

 haz cuya arista es esta polar; luego la colineación es la identidad, una 



