— 367 — 



homografía involutiva con dos ejes que son las mencionadas rectas p y p', 

 o un giro proyectivo cuyo eje principal es la recta p y el eje secundario, 

 la recta p' (4). 



Cuando uno de los ejes es propio en el segundo caso, la colineación se 

 llama simetría proyectiva respecto de este eje. Asimismo, cuando en el 

 caso tercero es propio el eje principal p, la colineación se llama giro en 

 torno de este eje, y si es propio el eje secundario, la colineación se deno- 

 mina traslación proyectiva de eje p' ; y como son acordes todas estas 

 colineaciones, se deduce que 



c) Todo movimiento en el que son dobles todos los puntos de una 

 recta propia, es la identidad o un giro en torno de esta recta, y como caso 

 particular, una simetría respecto de esta misma recta. 



d) Todo movimiento en el que son dobles todos los planos que pasan 

 por una recta propia, es la identidad, una simetría respecto de esta recta, 

 o una traslación cuyo eje es la misma recta. 



Demostradas estas proposiciones, por razonamientos análogos a los 

 hechos en el párrafo IV se demuestran todas las propiedades y relaciones 

 entre los movimientos expuestos en él, aplicadas a elementos propios 

 cuando se refieran a la métrica hiperbólica. 



34. Para establecer las relaciones métricas, es necesario sentar los 

 conceptos fundamentales de distancia entre dos puntos, y de ángulo de 

 dos rectas o de dos planos, a condición de que sea invariante en todo 

 movimiento y que satisfaga a la igualdad, 



AB + BC = AC. 



Es claro que en la definición de distancia entre dos puntos propios 

 A y B ha de intervenir el absoluto del espacio, y, por tanto, la involución 

 absoluta de la recta así como el concepto de segmento proyectivo, y de 

 aquí que puedan considerarse como distancia AB la proyectividad definida 

 por el par de puntos homólogos A-B, y la involución unida que es la absoluta 

 de la recta AB; es decir, lo que el señor Rey llama en su obra mencionada 

 segmentos de segunda especie, o la prospectividad definida por el par A-B, 

 y que tiene como punto doble el punto A' asociado al origen A, es decir, 

 el segmento de primera especie definido por la relación proyectiva 

 Á'A... A AT3... Tomando el primer concepto de distancia, se obtiene la 

 métrica proyectiva de Cayley, o sea la Geometría cayleyana; el segundo 

 concepto, a nuestro juicio,- conduce a las relaciones métricas correspon- 

 dientes a las Geometrías no euclidianas por un procedimiento más natu- 

 ral que el primero, y de él nos vamos a ocupar en los párrafos siguientes. 



Llamaremos como en el párrafo 23, segmento absoluto, al positivo deter- 



