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minado por un punto propio y su asociado en una recta cualquiera. Todos 

 los segmentos absolutos, así como todas las involuciones absolutas son 

 homólogos en todo movimiento y, por tanto, los consideramos como 

 iguales. 



Tratándose de segmentos coplanares de origen común O, todo movi- 

 miento en el que sean dobles el plano y el punto es un movimiento en el 

 mencionado plano, siendo doble la polar absoluta del punto O e invariante 

 la involución absoluta situada en esta recta; por tanto, este movimiento 

 es la identidad, o un giro en torno de este punto, y como caso particular 

 una simetría cuyo centro es este mismo punto; movimiento que coincide 

 con los establecidos en la Geometría cuyo absoluto está en el plano polar 

 absoluto del punto O, estudiada en el párrafo IV, y que por analogía 

 designaremos con el calificativo de parabólica. 



Por consiguiente, cuando se consideran segmentos que tienen un 

 origen común, se verificarán las relaciones métricas establecidas en la 

 métrica parabólica. 



En la métrica elíptica o hiperbólica existen triángulos con uno, dos o 

 tres ángulos rectos; pero sólo en el primer caso los tres lados del trián- 

 gulo son menores que el segmento absoluto, y de ellos es de los que he- 

 mos de ocuparnos en lo sucesivo. 



En consecuencia, se verifican las proposiciones siguientes: 



a) Las distancias proyectivas de un punto a los de intersección de 

 los rayos del haz de rectas, cuyo vértice es este punto, con un sistema 

 de rectas concurrentes en la polar absoluta del dicho vértice, son propor- 

 cionales (23, c). 



b) El módulo de un cateto de un triángulo rectángulo es medio 

 geométrico entre los módulos de la hipotenusa y de la proyección orto 

 gonal sobre esta recta del dicho cateto (24 b). 



Es claro qué el teorema de Pitágoras, relativo a los triángulos rectán- 

 gulos, no se verifica en la métrica elíptica ni en la hiperbólica, por no 

 tener origen común los lados; pero si sustituímos uno de los cate- 

 tos AB por su proyección ortogonal CD sobre la recta perpendicular 

 al otro trazada por el vértice opuesto C, como en la Geometría parabólica 

 se verifica 



|AB| = |CD|; 



el teorema de Pitágoras conduce á la 



|CB| 2 = |CA| 2 -+ |CD| a , 



la cual ya se aplica a las métricas elíptica e hiperbólica, y que dice así: 



c) El cuadrado de la distancia de un punto a otro es igual a la suma 



