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de los cuadrados de las distancias del primero a las proyecciones ortogo- 

 nales del otro, sobre dos rectas perpendiculares trazadas por aquél. 



Sustituyendo la altura de un triángulo relativa a un lado, por su pro- 

 yección ortogonal sobre la perpendicular al lado opuesto trazada por uno 

 de sus extremos, la proposición establecida en 24 e) se transforma en la 

 siguiente, aplicable a las tres Geometrías métricas. 



d) En todo triángulo, los productos de uno de dos de sus lados por 

 la proyección ortogonal de la altura correspondiente sobre la perpendicu- 

 lar al citado lado trazada por el vértice común, es igual al producto aná- 

 logo relativo al otro lado. 



Si designamos por H el punto común a dos alturas AA t y BE>! de un 

 triángulo cualquiera ABC, y cortamos los lados del cuadrivértice com- 

 pleto ABCH por la polar absoluta del punto H, se obtiene una involución 

 que se confunde con la absoluta de esta recta, por ser asociados los pun- 

 tos de intersección con los lados AAi y BC, y también los de intersección 

 con los lados BBj y AC; luego también son asociados los puntos de inter- 

 sección de los otros dos lados CH y AB, y, por tanto, la recta CH es la 

 tercera altura, lo que prueba que 



e) En las tres Geometrías, parabólica, elíptica e hiperbólica, las 

 alturas de un triángulo cualquiera concurren en un punto H, que denomi- 

 naremos ortocentro del triángulo. 



Designemos con el nombre de punto medio de un segmento al punto 

 armónicamente separado de su asociado por los extremos, y sean A 2 , B 2 

 y C 2 los puntos medios de los lados de un triángulo ABC, y A 2 ', B 2 ' y 

 C 2 ' sus asociados en cada lado. Por ser armónicas las series AC 2 BC 2 ' y 

 AB 2 CB 2 ', las rectas B 2 C 2 , BC y B 2 'C 2 ' concurren en un punto P', y las 

 B 2 C 2 ', B 2 'C 2 y BC en otro punto P armónicamente separado del P' por 

 los. B y C. Ahora bien: las -perpendiculares a los lados AB y AC en sus 

 puntos medios, es decir, las mediatrices relativas a estos lados, se cor- 

 tan en un punto O, polo absoluto de la recta B 2 'C 2 ', por ser las citadas 

 mediatrices polares absolutas de los puntos B 2 ' y C 2 ', luego son alturas 

 del triángulo B 2 C 2 P, y, por tanto., la recta OP es la tercera altura del 

 citado triángulo y, por consiguiente, perpendicular a la recta B 2 C 2 y 

 también perpendicular a BC, por ser la polar absoluta del punto P\ Luego 

 los puntos P y P' son asociados y, por consiguiente, se confunden con 

 los A 2 y A 2 ', de donde 



f) En las tres Geometrías métrico proyectivas, las mediatrices de 

 un triángulo concurren en un punto O, que denominaremos circuncentro 

 del triángulo. Además, siendo homológicos los dos triángulos ABC y 

 A 2 B 2 C 2 por cortarse los pares de lados opuestos en puntos A 2 ', B 2 ' y C 2 ' 



