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de una recta, las rectas AA 2 , BB 2 y CC 2 , a sea, las medianas del trián- 

 gulp ABC, concurren en un punto G, que denominaremos baricentro del 

 triángulo; por tanto, • 



g) En las tres Geometrías métrico -proyectivas, las medianas de un 

 triángulo concurren en un punto. 



Para averiguar la posición relativa de los tres puntos H, O y G, es 

 decir, del ortocentro, circuncentro y baricentro, consideremos los dos 

 triángulos BB 2 B' y CC 2 C formados por la altura, mediana y mediatriz 

 correspondientes a cada uno de los dos lados AC y BC, cuyos vértices 

 B' y C son, por tanto, los polos absolutos de los mencionados lados. 

 Como los puntos H, O y G son los de intersección de los tres pares de 

 lados homólogos, estarán estos puntos en línea recta cuando las rectas 

 BC, B 2 C 2 y B'C sean concurrentes en el punto A 2 ', el cual ha de ser, 

 por tanto, polo absoluto de la tercera mediatriz, según hemos visto, y 

 también de la tercera altura, por ser B'C la polar absoluta del vértice A. 

 Luego, o estas rectas son distintas, y entonces estaremos en el caso de 

 la métrica parabólica, por tener ambas el mismo polo, o se confunden en 

 una, y entonces el triángulo es isósceles; por consiguiente, 



h) Sólo en la métrica parabólica se verifica el teorema de Euler, que 

 dice que en todo triángulo están en línea recta el ortocentro, el baricen- 

 tro y el circuncentro. 



35. Si ABC es un triángulo de lados menores que el segmento abso- 

 luto y D es un punto de uno de los lados BC, el segmento AD es también 

 menor que el segmento absoluto: pues si fuese AD igual al segmento 

 absoluto, la recta perpendicular en D a la AD debe cortar a uno de los 

 otros dos lados AB o AC del triángulo propuesto, y entonces este lado 

 sería mayor que el segmento absoluto. Si AD es mayor que el segmento 

 absoluto tomando AE igual a este segmento, el punto E es interior al 

 triángulo ABC, la recta BE corta al lado AC en F, y la perpendicular a 

 la recta AE en el punto E, por cortar al lado BF del triángulo ABF, debe 

 cortar también a uno de los otros dos lados AB o AF; es decir, que AB 

 o AF es mayor que el segmento absoluto, y, con mayor razón, AC es 

 mayor que el citado segmento, lo que es contrario al supuesto. Más aún: 

 siendo menores que el segmento absoluto los segmentos AD, DC y AC, 

 también es menor que el segmento absoluto el segmento DF, luego 



a) En todo triángulo de lados menores que el segmento absoluto, 

 todo segmento limitado por el perímetro es también menor que el seg- 

 mento absoluto. 



Por ser invariante la perpendicularidad en todo movimiento, se deduce 

 que todos los ángulos rectos son iguales, y si llamamos agudo a un ángulo 



