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AC-A'C, si los dos triángulos no son homólogos, los puntos homólogos 

 de los B y C serían otros dos B x y C l5 situados, respectivamente, en las 

 rectas AB y AC. Ahora bien: en la simetría respecto del punto O medio 

 del segmento BB^ son homólogos los puntos B y B x y también las rectas 

 BC y BjC], por formar ángulos iguales con la BB 1? luego la perpendicular 

 a la recta BC trazado por O es también perpendicular a la B^i, y es, 

 por tanto, polar absoluta del punto P común a estas dos rectas.. Por razón 

 análoga, la perpendicular a BC trazada por el punto medio del segmento 

 CC X es también perpendicular a B^ y polar absoluta del mismo punto P. 

 Y como existe un punto P con dos polares absolutas, no puede existir 

 sistema polar absoluto, y, por consiguiente, 



d) Sólo en la métrica parabólica la igualdad de los ángulos de dos 

 triángulos no entraña la de estas figuras. 



36. Consideremos un cuadrilátero ABCD rectángulo en A, B y C, 

 de lados menores que el segmento absoluto. Las dos diagonales AC y BD 

 se cortan en un punto E interior al segmento AC. En la Geometría para- 

 bólica, el cuarto ángulo D es también recto, y recíprocamente. En la Geo- 

 metría elíptica, si B' y A' son los puntos conjugados con los B y A en la 

 involución absoluta situada en la recta AB, como esta involución es elíp- 

 tica, los pares A-A' y B-B' están separados y, por tanto, también lo están 

 los pares de rectas DA-DA' y DB-DB', y los pares de puntos A-F y E-C 

 secciones de las rectas anteriores por la AC, y siendo A exterior al seg- 

 mento EC, el punto F será interior, y la recta DA', perpendicular a la DA, 

 es interior al ángulo ADC siendo, en consecuencia, obtuso este ángulo. 



Un razonamiento análogo prueba que, si es hiperbólica la involución 

 absoluta de base AB, el ángulo ADB es agudo, y como aquella circuns- 

 tancia se verifica para las rectas propias, podemos concluir que 



a) El cuarto ángulo de un cuadrilátero trirrectángulo de lados propios 

 menores que el segmento absoluto, es recto, agudo u obtuso, según que 

 se trate de la métrica parabólica, hiperbólica o elíptica. 



Ahora bien: si por los vértices A, B . c 



y C de un triángulo se trazan (fig. 3) las A 



perpendiculares AD, BE y CF a la recta / i\ 



Afix que une los puntos medios de los la- p B, / & ! \A t 

 dos AC y BC, y por el punto Q medio ; / \ F \ ¡ £ 



del tercer lado se traza, asimismo, la per- \ / \\ 



pendicular CjG a la misma recta A^ se Ir - — J — ■— — * B 



verifica la igualdad de los ángulos FCBí ' 



y DAB t como homólogos en la simetría res- F¡ £- 3 ' a 



pecto del punto B l5 y también la igualdad de los ángulos FCAí y EBAj 



