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Un caso particular, que es la generalización de las abscisas distancias 



ordinarias es aquel en el que se verifica que el punto límite es el asociado 



al origen, en cuyo caso la abscisa' de un punto es la distancia proyectiva 



del mismo al origen. Entonces la involución absoluta está representada 



por la ecuación 



kxxf — l = o [1] 



siendo k una constante que tiene un valor particular, y que conserva el 

 mismo valor para todas las rectas, a causa de ser invariante la mencionada 

 involución en todo movimiento. Por tanto, la ecuación del absoluto 

 es kx 2 — 1 = 0, o en abscisas homogéneas, kx 2 — z 1 — o; siendo la cons- 

 tante k positiva, nula o negativa, según que se trate de la Métrica hiper- 

 bólica, parabólica o elíptica. 



El problema métrico fundamental en la recta es la determinación déla 

 distancia proyectiva entre dos puntos Ai y A 2 en función de sus absci- 

 sas x x y x 2 \ y vamos a resolverle. Para ello, designemos por A\ y A' 2 los 

 puntos asociados a los A x y A 2 , y sean x\ y xf 2 sus abscisas; según lo dicho 

 anteriormente, tenemos: 



_L l 



' ' h X ^ h "^l 



( h' A' A A ^ X 1 Xí • X 2 Xl * • 2 



X ^ X 2 X 2 X 2 1 1 



kx í kx 2 



_ (l — kx?) (I — kxj) 



i\—kx x x 2 y ¿ 



Por otra parte, en el sistema de abscisas (A^AjUí), siendo OU = AiUi, la 

 distancia d= (Aj A 2 ) es la abscisa del punto A 2 , y la de A\ es d x = 00 j y, 

 por tanto, se verifica que: 



— —-d 



,* , «, a a s d x kd kd . ,,.. 



(A', A', A, A 2 ) =5 -^ : _ = j-- = l- kdK 



kd kd 



Luego, 



de donde, 



1 m) ~ {\-kx lX tf ' 



d= x x -x 2 [2] 



1 tZX\ Jt*2 



Obsérvese que si A, B y C son tres puntos de una recta, entre los 

 segmentos ordinarios AB, AC y BC existe la relación AC = AB + BC , 



