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mientras que entre las distancias proyectivas correspondientes se veri- 

 fica, que 



(AC) - (AB) + ( BC > ■ 



1+¿(AB)(BC) 



que se confunde con la anterior, sólo en el caso de ser k = o, es decir, en 

 la Métrica parabólica. 



Si A, Ai A 2 son tres puntos de una recta, y designamos por — X el nú- 

 mero que corresponde a la razón doble (AL K x A 2 ), y por x, x lf x 2 las abs- 

 cisas de aquellos puntos, se tiene: 



- X = £=¿* de donde x= #±% [3] 



x — x 2 1 + X L J 



expresión que da la abscisa de un punto en función de las de otros dos. 



La ecuación de los movimientos se obtiene fácilmente, recordando que 

 son proyectividades en las cuales es invariante el absoluto. En efecto: 

 viniendo representada una proyectividad por la transformación lineal 



ax' + b i a b\ 



cx'-\- d \c d) ' 

 la ecuación kx 2 — 1 = o, representante del absoluto, se transforma en la 



(ka 2 — c 2 ) x' 2 + 2 (kab — cd) x' + kb 2 — d 2 = o, 

 y, por tanto, se verifican las relaciones, 



k a i c 2 



: = d' ¿ — kb' ¿ , kab — cd = o 



k 



de las cuales se deducen las 



d = ± a, c = ± kb. 



Las ecuaciones de los movimientos en la recta, son, pues: 



ax' + b ax' + b 



kbxf + a ' — kbx' — a ' 



la segunda representa una involución, es decir, una simetría respecto de un 

 punto; la primera representa una traslación; y como se pasa de la una a la 

 otra cambiando xen — x, se deduce que toda traslación es el producto de 

 dos simetrías; como ya sabíamos. 



Si en la primera ecuación hacemos x' — o, resulta x = — = m; de modo 



