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que la ecuación de la traslación en función de la abscisa del punto homó- 

 logo del origen, es: 



x' -f m 



x— 



1 + kx'm ' 



y análogamente, si m = es la abscisa del punto simétrico del origen, 



la segunda ecuación se transforma en 



m — x' 



x = 



1 — kmx' ' 



Ahora bien: si queremos obtener la fórmula del cambio de origen, 

 y O, O' y P son los dos orígenes y un punto cualquiera P, y P' es el homó- 

 logo de P en la traslación (O O'), se verifica que (O P) = (O' P'); y, por 

 tanto, cambiando en la ecuación de la traslación últimamente obte- 

 nida x por x, se obtiene para el cambio de origen la relación, 



X+m [4] 



1 + kxm 



la cual se puede obtener también fácilmente aplicando la ecuación [2]. 



38. En las figuras planas ha lugar a considerar también un sistema 

 particular de coordenadas proyectivas, que es una generalización del sis- 

 tema cartesiano de la Geometría ordinaria. En este sistema, el triángulo 

 de referencia es auíopolar en el sistema polar absoluto; y, por tanto, los 

 ejes OX y OY son perpendiculares entre sí, y la recta límite del sistema 

 de coordenadas es la polar absoluta del origen O. 



-Toda recta viene representada, pues, por una ecuación lineal, completa 

 cuando no pasa por ningún vértice; carece de término independiente 

 cuando pasa por el origen, y encierra una sola variable cuando pasa por 

 el polo absoluto de uno de los ejes coordenados OX y OY. 



Problema í.° Hallar la polar absoluta de un punto, y el polo absoluto 

 de una recta. 



Si A (x x , y x ) es el punto dado, su polar absoluta a pasa por los polos 

 absolutos de las rectas AA X y AA 2 , perpendiculares a los ejes coordenados, 

 es decir, por los puntos A', y A' 2 , asociados a las proyecciones ortogonales 

 A x y A 2 del punto A sobre los dichos ejes; pero siendo las coordenadas de 

 estos puntos (jr 1? o) y (o, y¿), las de los A\ y A' 2 son, respectivamente 

 1 \ / 1 \ 



kx x ' . " ) \ ki/ 1 / ' 



siendo k la constante característica; por tanto, la ecuación pedida es: 

 kx x x + ky^y — 1 = o. 



