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punto medio, se vuelve a obtener la naturaleza del cuarto ángulo del 

 cuadrilátero trirrectángulo, ya hallada. 



Las ecuaciones de los movimientos se obtienen buscando las de aque- 

 llas colineaciones que dejan invariable la cónica absoluta; en particular, las 

 de los movimientos elementales, es decir, las de los giros y traslaciones, 

 se obtienen hallando las colineaciones con la cónica absoluta invariante, y, 

 además, con un punto fijo, y también su polar absoluta. 



Así, si se quiere hallar la ecuación dé los movimientos en que es fijo el 

 origen de coordenadas, basta observar que las ecuaciones de la nomografía, 

 en la que son dobles este apunto y su polar absoluta, o sea la recta límite 

 del sistema de coordenadas, son de la forma: 



x = a x x' + b x y', y =a 2 x' + b 2 y' , 



entre cuyos coeficientes, si ha de ser invariante la ecuación [5], deben 

 existir las relaciones: 



a t 2 + a 2 2 = <V + A 2 = h «i K + a 2 b 2 = o, 



de las cuales se deducen las 



b í ±a 2 , b 2 =+a t , a x 2 + a 2 2 = 1; 



por tanto, las ecuaciones pedidas son: 



x — a-yx' + a 2 y' , y — a 2 x' — a t y' [8] 



que representa una simetría respecto de un eje que pasa por el origen; 



o las 



x = a x x' — a 2 y\ y — a 2 x' + a x y\ [9] 



que representan un giro que se reduce a una simetría respecto del origen 



cuando a 2 = o. 



39. Si r es la distancia proyectiva del origen O de coordenadas a un 



punto A (x, y), se verifica la igualdad x 2 + y 2 = r 2 ; pues bien, designando 



por a y p los ángulos ordinarios que la recta OA forma con el eje OX en 



su sentido positivo, se tienen por definición las siguientes igualdades, 



idénticas a las de Trigonometría ordinaria 



x U . y 



eos a = — , sen a = eos 3 = — , tg a == — , 

 r r x 



r r , x 



SeC a = — , COSeC a = — cot « = — , Mfí] 



x y y l'uj 



y como entre las dos primeras existen las relaciones 



sena 



sen 2 a + COS 2 a = 1 y tg a = 



COS a 



