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se deduce eme las relaciones entre las funciones trigonométricas de un 

 ángulo son las mismas en las tres Geometrías métrico-proyectivas. 

 Ahora" bien/ si P, Q, P'.y Q' son puntos tales que 



(OP) - (OQ) = (OP) = (OQ') = r, 



y los pares P — P' y Q — Q son homólogos en el giro representado por 

 las ecuaciones [9] estando el punto P' en el eje OX, las coordenadas de 

 estos puntos son 



P' (r, o), P (r eos a, r sen a), Q' (r eos a', r sen a') y Q (r eos y, r sen y). 



Sustituidas estas coordenadas en las ecuaciones [9], se obtienen las 



igualdades 



a x = eos a, q 2 = sen «, 



eos 7 = #! eos a' — ■ a 2 sen a', sen y = a % eos a' + «2 1 sen. a', 



y teniendo en cuenta que 7 = « + a' por ser iguales los ángulos P'OQ' y 

 y POQ, resultan en definitiva las relaciones 



eos (a -f- «') = eos « eos a' — sen * sen a', 

 sen (a -)- a') = sen a eos a' 4- eos a sen a' 



que son independientes de la constante característica y que prueban, por 

 tanto, que todas las fórmulas relativas a la suma, diferencia y múltiplos y 

 submúltiplos de los ángulos, establecidas en la Trigonometría ordinaria, 

 subsisten en la métrica proyectiva. 



40. Vamos ahora a buscar las relaciones que enlazan los elementos 

 de un triángulo rectilíneo Ab>C, a cuyos lados (AB), (AC) y (BC) llama- 

 remos, respectivamente, c, b y a. 



Primer caso. El triángulo es rectángulo en A. Tomando como ejes 

 coordenados los dos catetos, las coordenadas de los vértices son 



A (o, o), B (o, c), C (b, o) 



y aplicando la fórmula [7] resulta la ecuación 



tf 2 = ¿,2 _|_ C 2 __ fá2 C 2 



equivalente a la 



]/\ — ka ¿ = }/\—kb' ¿ )/\ —kc 2 t 12 3 



que enlaza los tres lados. 



De la definición del coseno de un ángulo se deducen las relaciones 



¿> = <2CosC, c — a eos B [13] 



que enlazan un cateto, la hipotenusa y el ángulo comprendido. 



