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 de donde 



1 + k (AD) (DB) 



]/\-kc 2 l/l-¿(AD) 2 l/l-¿(BD) 2 

 y por tanto, se obtiene en definitiva la ecuación ' 



[20] 



_, sen A sen B . ^ 

 eos C = — = eos A eos B 



V\ — kc 2 



y sus análogas 



sen A sen C :_ . 



eos B = — :=zz= eos B eos C [21] 



Vi — kb 2 



sen B sen C 

 eos A = — z=r eos B eos C 



Fl — ka 2 



Estas fórmulas prueban que si k no es nulo, un triángulo queda de- 

 terminado por los tres ángulos, lo que demuestra de nuevo la proposi- 

 ción d) del párrafo 35. \ 



Además, según que k 5gí o, así 



eos C^sen A sen B — eos A eos B = eos [2R — (A + B)], 

 o sea 



C + A + B^2R, 



designando por R un ángulo recto, lo que vuelve a probar la proposi- 

 ción b) del párrafo 36. 



Asimismo de las igualdades [19] se deduce que como eos A > — 1, se 

 verifica que 



1 \+kbc 



< 



V\ — ka 2 V\ — kb 2 V\ — kc 2 ' 



y si designamos por a, b, c y b + c los segmentos ordinarios de los la- 

 dos del triángulo y el formado por la reunión de los dos últimos, la ecua- 

 ción [20] prueba que 



1 + kcb 1 



V\ — kb 2 V\ — kc 2 V-\— k(b + cf 

 y, por tartto, se tiene 



V\ — ka 2 >V\— k(b + c) 2 



