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de donde a < (b + c) y, por tanto, a < b + c, por existir la misma rela- 

 ción de igualdad y desigualdad entre los segmentos proyectivos positivos 

 y los segmentos ordinarios; y de este modo queda de nuevo demostrada 

 la proposición d) del párrafo 24. 



41. En los haces de rectas y de planos pueden establecerse también 

 sistemas particulares de abscisas proyectivas. Como el haz de planos pue- 

 de, para estos efectos, sustituirse por el haz de rectas, sección del mis- 

 mo, por un plano perpendicular a su arista; nos referiremos a un haz de rec- 

 tas. En él un rayo OB queda determinado por la tangente del ángulo que 

 forma con el rayo OX de origen, en cuyo caso los rayos de referencia 

 son el OX, el O Y perpendicular a éste, y el rayo bisector OU del ángu- 

 lo XOY que forman estos dos, de modo que el ángulo proyectivo (XOB), 

 no es otra cosa que la tangente del ángulo ordinario XOB. 



Ahora bien: en el sistema de coordenadas planas de ejes OX y OY, 

 la condición de perpendicularidad de dos rectas OA y OB que pasan por 

 el origen es 



tg XOA X tg XOB = — 1 ; 



luego, designando por x y x las abscisas de dos rayos cualesquiera del 

 haz O, perpendiculares entre sí, la ecuación de la involución absoluta en 

 el mencionado haz o sea la involución rectangular, es 



xx' + \ = o. [22] 



Comparando esta ecuación con la [6] se ve: 1.°, que es independien- 

 te de la constante característica k, y 2.°, que se deduce de aquella ecua- 

 ción poniendo k=— 1 . Por tanto, 



a) Todas las fórmulas obtenidas en las series rectilíneas dan lugar 

 a las correspondientes de los haces, cambiando los segmentos proyecti- 

 vos por las tangentes de los ángulos ordinarios, y haciendo k = — 1. 



Así, la fórmula [7] que da la distancia proyectiva entre dos puntos se 

 transforma en 



tgAOB tgXOB-tgXOA 



1 +tgXOBtgXOA 



que permite obtener la tangente de la diferencia entre dos ángulos en 

 función de las tangentes de ellos, y que ya habíamos obtenido. 



Las ecuaciones de los movimientos en el haz son las mismas [8] y [9] 

 que representan, respectivamente, una simetría respecto de un eje y un 



