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por cuyo medio es fácil resolver los problemas relativos a la perpendicu- 

 laridad de rectas y planos, recordando que los elementos perpendiculares 

 en el sentido proyectivo son conjugados respecto de la cuádrica absoluta. 

 Los problemas sobre distancias y ángulos se reducen a los anteriores 

 y a la determinación de la distancia d entre dos puntos, la cual se obtiene 

 por el mismo procedimiento que la fórmula [7] en el plano, y resulta 



d- 



(x 1 — x 2 ) 2 + U'i— x 2 ) 2 +■ (*!— z. ¿ ) 2 — k [(x 1 y 2 — y ± x 2 ) 2 + 1 

 + (*! z 2 — z x x 2 ) 2 + {y í z 2 — z x y 2 ) 2 ] J 



{kx x x 2 + ki¡ x y 2 + kz x z 2 — \ ) 2 



[28] 



Tratemos de buscar la condición de paralelismo de dos rectas en la 

 Métrica elíptica. Para ello recordemos que para que dos rectas que se 



cruzan sean paralelas en esta Geome- 

 tría, basta con que existan dos rectas 

 que las corten ortogonalmente y que no 

 sean polares absolutas entre sí 

 Sean OR y PQ (fig. 5. a ) las dos rectas 

 ortogonales a las dadas OP y RQ; to- 

 memos un sistema de ejes coordenados 

 de modo que el origen sea el punto O, 

 la recta OR, el eje OY y el plano ORQ, 

 el XY, pongamos (OR) = b y m = 

 = tg XOP, entonces las coordenadas de los puntos P y Q son, respecti- 

 vamente Oí, o, mxt), (x 2 , b, o) y las ecuaciones de los planos perpendicu- 

 lares a las rectas dadas OP y RQ en los puntos P y Q, son 



x — x-l + m (z — mx x ) = o, y 



kb 2 — 1 

 kbx 9 



(x— x 2 ), 



mas como ambos pasan por los dos puntos P y Q, se verifican las con- 

 diciones 



x% = (1 — kb) x x = x x (1 + trí) de donde m = b V — k. 



Ahora bien; en virtud de la fórmula [28] se tiene que 



(OP) = xí V\ — kb 2 y (RQ) = Xi V\— kb 1 , 



luego (OP) = (RQ), es decir, que 



a) Los trozos de paralelas de Cliford comprendidos entre paralelas 

 son iguales. 



Este teorema permite trazar por un punto O las paralelas a una rec- 

 ta RQ en la Métrica elíptica. Pues, basta, en efecto, trazar por el punto 



