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la recta OR que corta ortogonalmente a la recta dada, y la perpendicu- 

 lar OX a esta recta OR; después, por un punto cualquiera Q de la recta 

 dada y en el plano OQR determinado por ella y por el punto dado O, se 

 traza la perpendicular a esta recta, por su punto de encuentro S con la 

 recta OX se traza asimismo la perpendicular a esta recta, y uniendo el 

 punto dado O con los de intersección de esta última perpendicular con la 

 circunferencia de centro O y radio RQ, son las rectas que se buscan; de 

 aquí resulta que 



b) En la Métrica elíptica por cada punto del espacio pasan dos rec- 

 tas paralelas a una dada. 



Como los triángulos ORQ y POQ son iguales por tener sus tres pares 

 de lados iguales, resulta que 



c) En la Métrica elíptica toda secante de dos paralelas forma con 

 ellas ángulos iguales. 



Estas dos últimas propiedades coinciden con las de las rectas parale- 

 las de la Geometría ordinaria, y justifican el nombre de paralelas dado a 

 las rectas de que se trata. 



VIL— La Geometría absoluta 



43. Suponemos establecida la Geometría proyectiva utilizando, como 

 ya hemos dicho, los axiomas gráficos, es decir, los de ordenación y enla- 

 ce, y un postulado de continuidad, como se hace en la citada obra del pro- 

 fesor Rey Pastor. 



Para establecer las propiedades métricas con independencia de la pro- 

 posición V de Euclides, es decir, independientemente de toda hipótesis 

 acerca del paralelismo, no bastan los mencionados postulados o axiomas, 

 sino que se hace preciso establecer postulados de congruencia o del mo- 

 vimiento. Así admitimos que 



; I. Existen ciertas colineaciones llamadas movimientos, en las cuales 

 a un segmento rectilíneo corresponde otro segmento rectilíneo; 



II. Los movimientos forman un grupo, y 



III. Un movimiento queda determinado por dos puntos homólogos, 

 dos medios rayos homólogos que parten de estos puntos y dos medios pla- 

 nos homólogos que parten de estos medios rayos. 



Las figuras homologas en un movimiento se llaman iguales, y como se 

 deduce de Jos dos primeros axiomas, la relación que las enlaza satisface 

 a las propiedades idéntica, recíproca y transitiva. 



Rev. Acad. de Ciencias.— XVI.— Abril-mayo-junio, 1918. 27 



