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Si en un movimiento existe un plano doble, a toda figura situada en 

 él corresponde otro situada también el plano. La colineación plana entre 

 estas figuras constituye el movimiento de una figura plana en su plano, y 

 de este movimiento vamos a ocuparnos ahora. 



Llamemos a y a. t los dos medios planos en que el plano considerado 

 queda dividido por una de sus rectas, y sean aya-i l° s dos medios rayos 

 en que esta recta queda dividida por uno A de sus puntos. 



Suponiendo fijos o dobles el punto A y la recta citada, existen los si- 

 guientes movimientos en virtud del axioma tercero. 



a) El medio rayo a y, por tanto, su complementario a ± , son dobles 

 y también son dobles los dos medios planos a y a t . Este movimiento es la 

 identidad, puesto que en la colineación idéntica se verifican estas condi- 

 ciones y existe un solo movimiento determinado por los pares A-A, a-a, a-a. 



b) El medio rayo a es doble y al medio plano a corresponde el a x ; 



c) Al medio rayo a corresponde el a t , y el medio plano a es doble, y 



d) Son correspondientes los medios rayos a y a x y los medios pla- 

 nos a y a 1 . 



Como el cuadrado de cada uno de estos movimientos es la identidad, 

 se* deduce que los tres últimos son colineaciones involutivas: Además, el 

 producto de cada dos de ellos es igual al tercero; de modo que designan- 

 do por M = 1 la identidad y por M 1? M 2 y M 3 los otros tres movimientos 

 involutivos, se verifican las relaciones 



Mo 2 =.l, M t 2 =l, M 3 2 =l; M M t = Mi M = Mi, 

 M M 2 - M 2 M = M 2 , ' M M 3 = M 3 M = M 3 , M t M 2 = M 2 Mi = M 8 , 



M 2 M 3 = M 3 M 2 = Mj, M 3 M x = M 3 M 3 =M 2 , 

 luego, 



e) Existen cuatro movimientos en los cuales permanecen fijos un pla- 

 no, una recta de él y un punto de esta recta, los cuales forman un grupo 

 abeliano ; y excepción de la identidad, los otros tres son involutivos. 



En el movimiento M x el eje del sistema plano en involución que defi- 

 ne es la recta a a t , pues si un punto genérico B de a distinto del A, 

 no fuese doble, le correspondería otro punto B t situado también en a, y 

 que estaría en el segmento AB o en su prolongación AB, y en ambos ca- 

 sos se verificaría que al punto B x correspondería el B, al segmento AB 

 el AB X y al punto B x interior o exterior al primer segmento, corresponde- 

 ría el punto B exterior o interior al segundo segmento, lo cual está en 

 contradicción con el postulado I. 



Este movimiento se Mama-simetría respecto del eje aa t , el centro Á 

 de la homología involutiva', se llama polo absoluto del citado eje, y las 



