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rectas dobles que pasan por este punto se dicen perpendiculares al mis- 

 mo eje. 



En el movimiento M 3 , el punto A es el centro de la homología involu- 

 tiva, puesto que, siendo doble, el eje no puede pasar por él toda vez que 

 habían de corresponderse los dos medios rayos en que lo divide el pun- 

 to A, a causa de corresponderse a y a x . Este movimiento se llama sime- 

 tría respecto del centro A. 



Consideremos la simetría S respecto de la recta AC perpendicular a 

 la a en el punto A. En la simetría M x al medio rayo AC corresponde su 

 complementario AC 1? y al medio plano C x ha corresponde el mismo, pues 

 si P-Pi es un par de puntos homólogos, el P estará con el C o con el C ± 

 a distintos lados respecto del eje aa t \ supongamos que sea el C A ; entonces 

 los segmentos PC X y P^C se cortan en un punto B del citado eje, y por 

 tanto, los puntos P y P t están con B al mismo lado de AC, y en conse- 

 cuencia, ellos, entre sí, están también al mismo lado de esta recta. 



De aquí resulta que en el producto SMj, es doble el punto A, y son 

 homólogos los medios rayos AC-AQ y los medios plano í CAa y CAa x y, 

 por tanto, el movimiento SM se confunde con el M 3 , por verificarse en 

 este movimiento aquellas tres condiciones. Y como para que el producto 

 de dos homologías involutivas cuyos ejes se cortan sea otra homología 

 involutiva cuyo centro sea el punto común a los ejes, es necesario que el 

 centro de cada una de aquellas esté en el eje de la otra, y entonces la 

 recta que une estos centros es el eje de la homología producto; se de- 

 duce que 



f) Si una recta es perpendicular a otra, ésta lo es a aquélla, es de- 

 cir, que la perpendicularidad de dos rectas es una propiedad recíproca. 

 En otros términos: si dos rectas son perpendiculares el polo absoluto de 

 cada una de ellas está en la otra. 



Como un razonamiento análogo al anterior aplicado a las dos simetrías 

 respecto de dos ejes perpendiculares cualesquiera que pasan por el pun- 

 to A, resulta como producto de ellas la simetría respecto de este punto, 

 se deduce que 



g) Los polos absolutos de todas las rectas que pasan por un punto, 

 se encuentran en una recta que es el eje de la simetría cuyo centro es 

 este punto. Por esta razón a esta recta se llama polar absoluta del punto. 



h) El movimiento M 2 es una simetría respecto de un eje perpendicu- 

 lar a la recta aa ± en el punto A. 



Si por un movimiento cualquiera M el par de rectas perpendiculares 

 AB y AC se transforman en las A^ y AjC^ designando por AC y AíC'í 

 los medios rayos complementarios de los AC y AíQ por M _1 el movi- 



