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miento inverso del M y por S la simetría respecto del eje AB, en el movi- 

 miento M - 1 SM permanecen fijos el punto A x y el medio rayo A^, y 

 como son homólogos AíQ y AjC^, se corresponden los medios planos 

 BiAíCj y BíAíC'í, lo que prueba que el movimiento en cuestión es una 

 simetría respecto de la recta A^, siendo en ella homólogos los medios 

 rayos A^ y A^^; luego 



i) La perpendicularidad de rectas es una propiedad invariante res- 

 pecto del grupo de los movimientos. 



Consideremos en un plano un segmento AB y tratemos de averiguar 

 cuántos segmentos iguales al dado existen en un medio rayo hj& x del 

 mismo plano que parten del extremo K x . Para ello supongamos que en un 

 movimiento M 5 se corresponden los puntos A-A t y los B-B^ siendo doble 

 el plano que los contiene; y que en otro movimiento M 2 se corresponden 

 los pares A-A x y B-B 2 , siendo también doble el plano ABA X ; entonces en 

 el movimiento Mr - 1 M 2 son dobles el punto A ± y el medio rayo AjBí, lue- 

 go o es la identidad o la simetría respecto de la recta AjBj, y en ambos 

 casos son dobles todos los puntos de esta recta y, por tanto, se confunden 

 en uno los dos puntos B ± y B 2 ,es decir, que 



j) En una recta y a un lado de sus puntos existe un solo punto que 

 con aquél determina un segmento igual a un segmento dado en un plano 

 que pasa por la recta. Asimismo se verifica que 



k) Dado un medio rayo en un plano, sólo existe un medio rayo que 

 parte del extremo de aquél y que estando a uno de los dos lados del mis- 

 mo, forma con él un ángulo igual a otro dado. 



Pues, si BAC es el ángulo dado y A^ el medio rayo también dado 

 de extremo A x , suponiendo que en un movimiento Ní x se corresponden los 

 puntos A-A l7 los medios rayos AB-A^ y los AC-AjC^ y que en otro 

 movimiento M 2 se corresponden los puntos A-A x , los medios rayos AB- 

 A-lBx y los medios planos BAC y B^O,, estando ¡os medios rayos AjCi 

 y AiQ al mismo lado de AjE^', en el movimiento Mi -1 ]^, son dobles el 

 punto Ai, el medio rayo A^ y el medio plano B^C^ y por consiguien- 

 te, este movimiento es la identidad, lo que, prueba que coinciden los dos 

 medios rayos A^Cx y A 1 C 2 . 



De la proposición i) se deduce que en todo movimiento a dos elemen- 

 tos polares absolutos corresponden otros dos también polares- absolutos. 

 Ahora bien: si dos puntos A y B tienen la misma polar absoluta a, otro 

 punto C no alineado con ellos determinará con los mismos sendas rectas 

 AC y BC cuyos polos absolutos deben estar en la recta a polar común y, 

 por tanto, esta recta es también polar absoluta del punto C; y lo mismo 

 acontece con un punto cualquiera D de la recta AB, toda vez que no es- 



