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tara alineado con los A y C. Luego si los dos puntos A y B tienen pola- 

 res absolutas distintas, lo mismo acontece a los demás puntos del plano, 

 y entonces, como son concurrentes las polares absolutas de los puntos de 

 una recta, una figura plana y la formada por sus elementos polares abso- 

 lutos, son correlativas; y, verificándose además, que en el triángulo for- 

 mado por dos rectas perpendiculares y la polar absoluta de su punto co- 

 mún, a cada vértice corresponde el lado opuesto, las mencionadas figuras 

 constituyen un sistema polar, el cual, recibe el nombre de sistema polar 

 absoluto del plano, designándose también con el calificativo de absoluta 

 a su cónica directriz, sistema y cónica, que son invariantes en el grupo 

 de los movimientos, así como en este mismo grupo es doble la polar abso- 

 luta común de todos los puntos del plano, cuando esta circunstancia se 

 verifica, en cuyo caso esta recta recibe el calificativo de absoluta. 



Concluyese de aquí que 



l) Existen tres clases de Geometrías planas absolutas llamadas por 

 Klein parabólica, hiperbólica y elíptica, según que exista en el plano rec- 

 ta absoluta, cónica absoluta real, o cónica absoluta imaginaria, las cua- 

 les son casos particulares de las Métricas proyectivas de igual denomina- 

 ción, estudiadas en los capítulos anteriores. 



44. Consideremos en el espacio el movimiento en el cual son dobles 

 un punto A y un medio rayo AB que parte de este punto, siendo homó- 

 logos los dos medios planos a x y a 2 en que queda dividido por la recta AB 

 un plano <x que pasa por esta recta. Como en el párrafo anterior, se veri- 

 fica que la homografía correspondiente es involutiva, siendo dobles todos 

 los puntos de la recta AB; y como todo movimiento en el cual son dobles 

 todos los puntos de un plano es la identidad, en virtud del axioma terce- 

 ro, se deduce que e! movimiento en cuestión es una homografía involuti- 

 va con dos ejes, uno de los cuales es la recta AB y el otro A^ se cruza 

 con esta recta. 



Ahora bien: siendo doble todo plano que pasa por la recta AB, se co- 

 rresponden los medios planos en que queda dividido por esta recta, y la 

 simetría plana respecto de esta misma recta como eje está contenida en 

 el movimiento de que se trata, y el centro de esta simetría o sea el polo 

 absoluto de la recta AB está en el eje A^. Por esta razón al movimien- 

 to de que se trata se llama simetría respecto del eje AB, y la recta A^ 

 recibe el nombre de polar absoluta de la AB. 



Por otra parte, si b y c son dos rectas perpendiculares a la recta AB 

 en uno A de sus puntos, son dobles en el movimiento y, por tanto, tam- 

 bién es doble el plano be que determinan y la intersección d de este pla- 

 no con otro cualquiera S que pasa por la recta AB, verificándose, consi- 



