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Si A es el punto fijo y AB-AE^ un par de medios rayos homólogos, no 

 complementarios, en la proyectividad de vértice A, son homologas las 

 dos rectas distintas AB y AB X y, por tanto, esta proyectividad es involu- 

 tiva o es un giro, según que al medio plano BABi corresponda el BiAB o 

 el BjAB', siendo AB' el medio rayo complementario del AB. En el primer 

 caso el movimiento es una simetría respecto de un eje AC que es, por 

 tanto, bisector del ángulo BAB^ y si AD es la perpendicular a AC, como 

 el producto de la simetría respecto de la recta AB por la simetría respec- 

 to del punto A es la simetría respecto de la recta AD (43, h), esta recta 

 es la bisectriz; del ángulo BiAB' adyacentes del BAB X . 



Por tanto, 



i) Un ángulo cualquiera es igual al mismo invertido, lo que prueba 

 la proposición relativa a la inversión del ángulo rectilíneo y. por tanto, 

 del diedro; 



j) Todo ángulo rectilíneo tiene una bisectriz que es perpendicular a 

 la de su adyacente y lo análogo ocurre en el ángulo diedro. 



Sea O.XYZ un triedro trirrectángulo y OA la bisectriz del ángu- 

 lo YOZ: designemos por Sz y Sa 

 las simetrías respecto de las rec- 

 tas OZ y OA. Como en Sz es do- 

 ble el punto O y la recta OZ, y 

 homologas las rectas de las parejas 

 OX-OX', OY-OY' (fig. 6. a ), y en 

 la simetría Sa es doble el punto O 

 y homologas las rectas de los pa- 

 res OX-OX', OZ-OY, en el mo- 

 vimiento producto de ambas sime- 

 trías son dobles el punto O y el 

 medio rayo OX, y homólogos los 

 medios rayos OZ y O Y, y tam- 

 bién los medios planos XOZ y XOY. Luego en el cuadrado de este movi- 

 miento son dobles el punto O y el medio rayo OX y homólogos los me- 

 dios rayos OZ-OZ' y los medios planos XOZ y XOZ'; por tanto, el mo- 

 vimiento (SzSa) 2 es la simetría respecto de OX. 



Ahora bien: si en el movimiento Sz Sa a un punto cualquiera B de OX 

 correspondiese otro distinto B l5 a éste corresponde el B, por ser dobles 

 los puntos de OX en (SzSa) 2 , y sucedería que siendo homólogos los seg- 

 mentos OB y OBi al punto B l5 interior o exterior al primer segmento 

 correspondería el punto B exterior o interior al segundo, lo que es absur- 

 do. Luego todos los puntos de la recta OX son dobles en SzSa, y como 



Fig. 6. 



