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cara opuesta, aquel conjunto es un sistema polar el cual recibe el califica- 

 tivo de absoluto. En este sistema polar cada recta se cruza con su co- 

 rrespondiente, luego su cuádrica directriz es ordinaria o imaginaria. 

 Por tanto, podemos concluir que 



m) Existen tres clases de Geometrías absolutas llamadas por Klein, 

 parabólica, hiperbólica y elíptica, las cuales son casos particulares de las 

 Métricas proyectivas de igual denominación, estudiadas en los capítulos 

 anteriores. 



Todas las relaciones métricas que se han establecido en las Métricas 

 proyectivas, subsisten, pues, en la Geometría absoluta, así cómo todas 

 las fórmulas y ecuaciones obtenidas en el capítulo VI. Podemos, pues, 

 establecer en la Geometría absoluta las siguientes proposiciones funda- 

 mentales: 



n) La suma de los tres ángulos de un triángulo rectilíneo de lados 

 menores que el segmento absoluto, es igual, menor o mayor que dos rec- 

 tos, según que se trate de la Geometría parabólica, hiperbólica o elíptica. 



p) La Trigonometría esférica es independiente del postulado de las 

 paralelas y las fórmulas correspondientes se deducen de las relativas a la 

 Trigonometría rectilínea sustituyendo las distancias proyectivas por las 

 tangentes de los diedros del triedro y dando a la constante característica 

 que en ellas interviene el valor — 1 . 



q) En la Geometría parabólica existe una sola recta que corta orto- 

 gonalmente a otras dos que se cruzan; en la Geometría hiperbólica exis- 

 ten dos que son polares absolutas entre sí; en la Geometría elíptica exis- 

 ten dos polares entre sí, o hay una infinidad que forman un haz alabeado. 

 En este último caso aparecen las paralelas de Cliford, llamadas así por 

 tener muchas propiedades comunes con las rectas paralelas de la Geome- 

 tría euclidiana. 



45. Para terminar, vamos a probar la identidad de las tres Geome- 

 trías absolutas con las de Euclides, de Lobatcheuski y de Riemman; para 

 lo cual averiguaremos cuántos puntos impropios existen en una recta pro- 

 pia y su disposición en la recta. 



Recordemos que el movimiento de traslación sobre una recta es una 

 prospectividad cuyo punto doble es el de intersección con el plano absolu- 

 to en la Geometría parabólica, y una proyectividad que tiene como invo- 

 lución unida la de puntos asociados de la recta, en la Geometría hiper- 

 bólica y en la elíptica. - 



Concluyese de aquí que el punto armónicamente separado del punto 

 medio entre otros dos es el aso:iado con él en la recta que los contiene a 

 todos; de donde se deduce que en la Geometría hiperbólica si fuesen pro- 



