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pios los puntos dobles de la involución absoluta de la recta, el segmento 

 que determinan .debía tener infinitos puntos medios, lo que es absurdo. 



También en la Geometría parabólica es impropio o ideal el punto abso- 

 luto de toda rectapropia; puesto que, como son iguales, todos los seg- 

 mentos absolutos de la recta, de ser propio aquel punto, se seguiría el 

 absurdo de que debía equidistar de todos los puntos propios de la misma. 

 Por tanto, 



a) En la Geometría parabólica el plano absoluto es impropio; y en la 

 Geometría hiperbólica es impropia la cuádrica absoluta. 



Consideremos la serie armónica ACBD; sea I el punto medio del seg- 

 mento AB e I' su asociado en la recta. El punto I' no puede estar en el 

 segmento BD, porque si lo estuviese tendría su simétrico \ respecto de I, 

 en esta simetría serían homologas las cuaternas AIBI' y BI AIj , y resulta- 

 ría el absurdo de existir dos puntos I' e \ armónicamente separados de 

 uno mismo I por otros dos A y B. Suponiendo que el punto B está en el 

 segmento AD, como los dos pares C-D e I-I' no están separados, el pun- 

 to I es exterior al segmentó CD y, por tanto, debe encontrarseen el AC, 

 de donde se deduce que AÜ > AÍ =ÍB > CB. 



De aquí se deduce que si AoA^g ... A^ ... L es una red armónica cu- 

 yos puntos son todos propios y ordenados, se verifican las desigualdades 



A Ai> AiA 2 > A X A 3 > > A„_i A„ . 



Esto sentado sea AoBjBgBg la serie de puntos homólogos sucesi- 

 vos del punto A en la traslación AqB^ es decir, tales que se verifican las 

 igualdades A B t = Bj B 2 = B 2 B 3 =...= B«-iBn =... 



Si P es punto del medio rayo AqBx o se confunde con uno de la serie 

 anterior o no; en este último caso, sea L un punto de la prolongación del 

 segmento A P a partir de P, y construyamos la red armónica 



AeB 1 A 2 A3..\A„...L, 

 con lo cual se verifica que 



A Bi=A B 1 ;B 1 A a <B 1 B 2 ; A 2 A 3 <B 2 B 3 ; ; A„-iA«< B„_iB„ 



y, por tanto, que 



A7B7 -r-B^Aa + ... + Á7-¡A/i < Á^Bi + B^B, + ... + B7~¡"B* ; 



o sea A A n < A B n . 



Pero se ha demostrado (*) que existe un punto A n de la red armónica tal que 

 se verifica que A An > A P; luego en la escala natural AoBjBg .-• existe 



*) Fundamentos de Geometría superior, de Rey, pág. 161. 



