lo que prueba que B n coincide con C'« o los puntos A n y G » están a dis- 

 tintos lados del B n y, por tanto, a distintos lados de la recta BB„ y, como 

 los A y A n están al mismo lado de esta recta, los A y C'« están a lados 

 distintos; en ambos casos la recta AQ corta a la BB n . Pero las rectas del 

 haz de vértice A exteriores al ángulo BAAi son simétricas de las interiores 

 respecto de la recta AB; luego también cortan a la recta BB„ y, por tanto, 

 c) En la Geometría parabólica, por un punto exterior a una recta en 

 el plaoo que determinan pasa una sola recta que no corta a la propuesta. 

 La Geometría parabólica es, pues, idéntica a la Geomeiría euclidiana. 



En la Geometría hiperbólica ya hemos visto que los puntos dobles 

 de la involución absoluta de la recta BBj (fig. 8. a ), son impropios y, por 



tanto, también es impropio el punto 

 asociado a un punto propio, puesto 

 que si fuesen propios dos puntos aso- 

 ciados como en el segmento que de- 

 terminan, debe estar Uno de los pun- 

 tos dobles de aquella involución, este 

 punto sería propio. 



Proyectemos desde el punto A ex- 

 terior a la recta BB X la involución 

 absoluta de esta recta: al rayo pro- 

 yectante del punto asociado al pie B 

 de la perpendicular a la recta es la perpendicular AC al citado rayo AB, 

 y los rayos dobles de la involución obtenida están uno AL dentro del án- 

 gulo BAC y el otro fuera de este ángulo. 



Sean BB^... los puntos de una escala natural y B'B'iBV-. sus aso-. 

 ciados en la recta; la perpendicular a esta recta en el punto B ± corta a la 

 AC en un punto C\ que unido con el B por una recta se obtiene un seg- 

 mento que corta a la recta AL en un punto Li por ser esta recta interior 

 al ángulo BAC. Como la recta AB t corta al segmento AC en un punto ex- 

 propio, por ser la recta qne une los otros dos puntos diagonales del cua t 

 drivértice ABB^C de lados menores que el segmento absoluto, exterior 

 a los segmentos BC y AB l5 el triángulo BjABa cortado por la recta AC 

 manifiesta que esta recta corta a la AB 2 en un punto C 2 y del mismo modo 

 a la citada recta AC cortan las AB ?> , AB^... en puntos C 3 , C 4 ... los cua- 

 les están ordenados, y como las rectas AB^, AB' 2 .-- son también interio- 

 res al ángulo BAC, cortan al segmento AC en puntos C\, C 2 , C 3 ... que 

 determinan con sus conjugados CiC... de la involución obtenida proyec- 

 tando desde el punto A la involución BB'-BiBVBgBV.., segmentos tales 

 que cada uno está contenido en el anterior y que todos contienen en su 



Fig. 8. 



