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interior el punto L y, por tanto, este punto es límite común de las dos su- 

 cesiones BGtC a C 8 ... y C'C'iCV-. Ahora bien: si P es un punto cualquie- 

 ra del segmento BL, en la primera sucesión existe un punto C«, situado 

 en el segmento PL, y como la recta AC« pasa por el punto B n que es pro- 

 pio, la recta AP corta el segmento BB„. Luego, 



d) En la Geometría hiperbólica las rectas que desde un punto exte- 

 rior a otra recta dada, proyectan los puntos dobles de la involución abso- 

 luta, dividen al haz de rectas del plano, cuyo vértice es el citado punto 

 en dos ángulos completos, de tal modo, que todas las rectas interiores a 

 uno de ellos cortan a la propuesta y no la cortan las interiores al otro. Los 

 lados de este ángulo tampoco cortan a la recta y son las llamadas por Lo- 

 batcheuski y Boliai, paralelas a la citada recta. La Geometría hiperbólica, 

 coincide, por tanto, con la Geometría 

 lobatcheuskiana. 



En la Geometría elíptica, si por el 

 punto A exterior a una recta BB (figu- 

 ra 9. a ), se traza la perpendicular AB a 

 esta recta, y proyectamos desde el cita- 

 do punto la involución absoluta de la 

 recta BB se obtiene otra involución en 

 lo cual dos rayos conjugados AB-AC 

 están separados por otros dos conjuga- 

 dos AB -AC' o y, por tanto, los rayos 

 AC y AC son interiores al ángulo 

 BAC' , y cortan al segmento BC en 

 dos puntos C y C, estando C en el segmento C C' , como se desprende 

 de la involución BC'-C C' sección de la de vértice A por la recta BC. 



Construyendo ahora una escala natural BBoBjBq... en la recta dada y 

 proyectándola desde el punto A sobre la recta BC, se obtiene una serie 

 ordenada ACoCxCa..., en la que se verifica que, por ser armónica la serie 

 BoBiBgB'i, siendo B\ el asociado al B l5 también es armónica su proyección 



U() U; V-^2 ^- / 1" 



Construyamos por otra parte la red armónica CoCiDaOs^-Co, en ella se 

 verifica que es armónica la serie CoCiDgC'o, luego CoQCaC'iACoQDgC'o 

 y, por tanto, CoGfCaCVDgC'i es una involución; y como el par C -Ci 

 no está separado por el C 2 -C , éste tampoco lo está por el D 2 -CV Pero C\ 

 está fuera del segmento C 2 C , luego lo propio ocurre al punto D 2 , y por 

 consecuencia, se tiene que C C 2 > C D 2 . 



Análogamente, considerándola escala natutal B B 2 B 4 ... con su pers- 



Fig. 9. 



