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pectiva C C 2 C 4 ... y la red armónica C C 2 F...C' , se verifica que 

 C C 4 > C F. Ahora bien; de esta red se deduce que es armónica la serie 

 C FC 2 C'o y de la red anterior que también es armónica la serie C D 2 D 4 C' 

 y, por tanto, que C C' -D 4 C 2 -D 2 F es otra involución; y como el par C -C' 

 no está separado por el C 2 -D 4 tampoco lo está este par por el D 2 -F; pero el 

 punto D 2 está fuera del segmento C 2 D 4 , luego el punto F está en el D 4 C , 

 y por consiguiente, se verifica que C F > C D 4 , y finalmente que 



M)C 4 !>CoD 4 . 



Repitiendo el razonamiento se prueba que C C 2 « >C D 2 «. Siendo C 

 un punto del segmento C C , por el postulado de Arquímedes en su for- 

 ma proyectiva, se deduce que existe un número entero m tal que se veri- 

 fica la desigualdad C C/tz =? C C, y como existe un entero n que cum- 

 ple la condición 2 n > m, se deduce que existe en el segmento C C' un 

 punto C 2 n tal que se verifica que C C 2n > C C. 



Pero la recta AC 2 « corta a la propuesta en el punto B 2 «, luego tam- 

 bién la corta la recta AC y, por tanto, el punto B' asociado al B es pro- 

 pio; y como si P' es el punto asociado a uno genérico propio P de la cita- • 

 da recta, se verifica que BB' = PP', por ser iguales todos los segmen- 

 tos absolutos, se concluye que el punto P' es propio. Por tanto, 



e) En la Geometría elíptica, dos rectas cualesquiera de un plano se 

 cortan y, por tanto, esta Geometría coincide con la riemaniana. 



Observemos finalmente, que en la Geometría hiperbólica, si bien hay 

 dos rectas que cortan ortogonalmente a otras dos que se cruzan, estas 

 dos rectas son polares entre sí y, por tanto, sólo una de ellas es propia; 

 mientras que en la Geometría elíptica hay dos rectas propias que cortan 

 ortogonalmente a otras dos que se cruzan o hay una infinidad, todas las 

 cuales forman un haz alabeado de segundo orden, siendo en este último 

 caso las rectas paralelas en el concepto de Cliford, las cuales tienen una 

 multitud de propiedades comunes con las rectas paralelas de la Geome- 

 tría euclídea. 



