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système (1) par la seule permutation des 2 éléments 



3 et 4 entre eux : 



124, 135, 167, 236, 257, 347, 456 (2) 



n'est pas différent du système (1). Il est seulement, 



parce qu'il contient d'autres triples que ceux de (1), 



une autre forme du système (1). 



§2. On répondit assez vite à la première question 



de Steiner. On voit d'abord facilement que de tels 



. N-l 

 systèmes de triples ne peuvent exister, que si - - et 



N(N-l) 



o — sont des nombres entiers, et par suite, que si 



N = 6 x + 1 ou si N = 6.x + 3, (x = 1, 2, 3,...). 

 D'autre part, successivement Reiss (1859), H. Moore 

 (1893), Fitting (1911), ont montré, naturellement par 

 des voies différentes, que pour chaque N de ces deux 

 formes 6 x -f- 1 et 6 x + 3, il existe au moins un sys- 

 tème de triples de Steiner. 



Les premiers nombres d'éléments N, répondant 

 à la question de Steiner, sont doncN = 7, 9, 13, 15 19, 

 21, ... éléments. 



Pour 7 éléments, je vous ai donné un système de 

 triples. On remarque facilement qu'il n'en existe pas 

 d'autre différent de celui-là. Si on lui applique l'une 

 après l'autre les 7 ! permutations (on dit aussi sub- 

 stitutions) des 7 éléments 1 , on constate que 168 de 

 ces substitutions transforment le système (1) en lui- 

 même, que 168 autres le transforment dans la forme 



1 On voit que pour 7 éléments 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, il y a 

 1x2x3x4x5x6x7= 7! = 5040 permutations possibles 

 de ces éléments. Pour N éléments, il y a N ! permutation- 

 possibles de ces éléments. 



