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(2), 168 autres encore dans une nouvelle forme, et 



ainsi de suite. Le système (1) prend en tout 30 formes 



différentes ; nous exprimons cela en mathématique, 



en disant que Vordre du groupe de substitutions qui 



7 ! ... 



appartient au système (1) est — - = 168. Mais il n'existe 



ou 



pas d'autre système de triples de Steiner différent 

 du système (1) pour 7 éléments. 



Pour 9 éléments, on trouva facilement aussi qu'il 

 ne peut en exister qu'un seul. Voici l'une de ces formes. 

 123, 147, 159, 168, 456, 789, 

 249, 258, 267, 348, 357, 369. 

 L'ordre du groupe de substitution qui lui appar- 

 tient est 432 ; autrement dit, le système peut prendre 



9 ! 



— — = 840 formes différentes. 

 432 



§ 3. Par contre, on est longtemps resté sur le cas 

 de 13 éléments. Kirkmann, Reiss, Cayley (1853), de 

 Vries (1894), avaient chacun donné un système de 

 triples de 13 éléments. Voici l'un de ces systèmes, 

 celui de Kirkmann ; nous désignerons ici, et plus bas, 

 par 0', 1', 2', 3', les éléments 10, 11, 12, 13 : 

 123, 145, 167, 189, 10'1', 12'3', 247, 

 259, 260', 283', 21 '2', 348, 356, 372' 

 390', 31'3', 461', 492', 40'3', 573', 581' 

 50'2', 682', 693', 780', 791' (3) 



Netto (1893) donna le système de triples de 13 

 éléments suivant, d'une forme particulière : 

 125, 236, 347, 458, 569, 670', 781', 

 832', 90'3', O'I'l, l'2'2, 2'3'3, 3'14, 

 138, 249, 350', 461', 572', 683', 791, 

 80'2, 91'3, 0'2'4, l'3'5, 2'16, 3'27. (4) 



