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3 fois avec elle-même, et 3 fois avec chacune des 13 

 autres ayant la même forme. D'où 6 substitutions 

 qui transforment le premier système en lui-même, et 

 39 substitutions qui transforment le système de Netto 

 en lui-même. 



§ 5. Je n'ajouterai maintenant que ceci à cet 

 exposé, comme résultat des dernières recherches dans 

 la question. 



H. S. White (1916) a prouvé que déjà pour 31 

 éléments, le nombre des systèmes de triples différents 

 doit dépasser 37 X 10 12 . H. S. White, N. Cole et L. 

 Cummings (1918) ont obtenu tous les systèmes de 

 triples différents pour 15 éléments ; leur nombre est 

 80. Je ne me suis occupé, moi-même, que des systèmes 

 de triples cycliques ; mais j'ai une méthode permettant 

 d'obtenir, avec assez de temps naturellement, pour 

 tout nombre premier, ou puissance de nombre pre- 

 mier de la forme 6 x + 1, (x = 1, 2, 3,...), tous les 

 systèmes cycliques de triples différents. Je l'ai appli- 

 quée jusqu'ici aux cas N = 7, 13, 19, 25, 31, 37, et 

 43 éléments 1 , et mes résultats sont respectivement : 

 1, 1, 4, 12, 80, 820, 9380 systèmes cycliques de triples. 

 différents 2 . 



1 Un système de triples de 13 éléments contient 26 triples 

 (voir les systèmes (3) et (4). Un système de triples de 19, 25, 

 31, 37, 43 éléments contient respectivement 57, 100, 155, 222,. 

 301 triples. 



2 Le lecteur mathématicien, que la question intéresserait, 

 trouvera tout l'exposé du problème des triples de Steiner dans 

 E. Netto, Lehrbuch der Combinatorik, p. 202 à 218, ou aussi 

 un exposé suffisant pour aborder le problème, et toutes les 

 références nécessaires, dans mon premier mémoire sur la 

 question : S. Bays, Sur les systèmes cycliques de triples de 

 Steiner, Annales de l'Ecole normale supérieure, février 1923. 



