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2. Sur les nombres parfaits. 



On appelle nombre parfait, un nombre entier égal 

 à la somme de ses diviseurs, ou, comme on disait au- 

 trefois, pour ne pas le compter lui-même, égal à la 

 somme de ses parties aliquotes. 



Ainsi 28; en effet: 1+2+4+7+14 =28. 

 La théorie des nombres parfaits impairs n'est pas com- 

 plètement connue. Par contre, on sait que les nombres 

 parfaits pairs sont donnés sans exception par la for- 

 mule : 



N =2«-! (2«-l), 



dans laquelle le second facteur (le facteur binôme) 

 doit être un nombre premier. 



Cette formule était déjà connue d'Euclide ; mais il 

 n'était pas en état de démontrer que l'on obtient 

 ainsi tous les nombres parfaits pairs. 



Il est facile de prouver que, pour que 2 a — 1 soit 

 nombre premier, il faut que a lui-même soit nombre 

 premier ; par contre a peut être premier sans que 

 2 a —1 le soit, et c'est une des questions que l'Arithmé- 

 tique supérieure est encore impuissante à résoudre : 

 dire pour quels exposants a premiers, 2 a — 1 est nom- 

 bre premier. 



Les nombres parfaits pairs connus actuellement 

 sont : 



6, pour a = 2 33.550.336, pour a =13 



28, » a = 3 8.589.869.056, » a = 17 



496, » a = 5 137.438.691.328, » a = 19 



8128, » a - 7 2.305.843.008.139.952.128, » a = 31 



Manquent, comme on le voit, les exposants premiers 

 a =11, 23 et 29, qui ne donnent pas pour 2 a — 1 

 un nombre premier. 



