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On remarquera que ces nombres parfaits pairs sont 

 tous terminés par 6 ou par 8. Il n'est pas difficile de 

 prouver qu'il doit en être ainsi. 



Dans la préface générale de ses Cogilala physico- 

 malhemalica, le P. Mersenne 1 affirme que jusqu'au 

 nombre premier 257 inclus, ce sont seuls ceux-ci 2 ; 



a = 2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 67, 127, 257. 



qui donnent pour 2 a —1 un nombre premier. Ilrésulte- 

 rait de ce passage, que Mersenne devait être en pos- 

 session d'une méthode pour déterminer si un grand 

 nombre est premier ou composé d'une extrême puis- 

 sance. Pour vérifier l'assertion de Mersenne seule- 

 ment pour le dernier exposant (le nombre 2 257 — 1 a 

 78 chiffres), on a calculé qu'il faudrait, par la méthode 

 élémentaire des essais successifs de division par cha- 

 cun des nombres premiers successifs, 2,3,5, 7,..., que 

 l'humanité, formée de mille millions d'individus, cal- 

 culât, simultanément et sans interruption, pendant 

 un temps égal à un nombre de siècles représenté par 

 un nombre de vingt chiffres. 



Mais la méthode du P. Mersenne ne nous est pas 

 parvenue. On a cherché depuis à vérifier son asser- 

 tion. Edouard Lucas a établi ce théorème : Si a = 4q 

 + 3 et 2a -f 1 est un nombre premier, le nombre 2 a — 1 

 n'est pas premier; il est divisible par 2a +1. Ainsi 



1 Savant religieux, mathématicien et physicien, contem- 

 porain, collaborateur et ami de Descartes, Fermât, Pascal, 

 Roberval, Frenicle, etc. (1588-1648). 



2 Les nombres premiers de 1 à 257 sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 

 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 

 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 

 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 

 223, 227, 229, 233, 239, 241, 25.1, 257. 



