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à l'infini sont toujours nombres premiers.... Si je puis 

 une fois tenir la raison fondamentale que 3, 5, 17, 257, 

 «te, sont nombres premiers, il me semble que je trou- 

 verai de belles choses en cette matière.... » 



Longtemps plus tard, en juin 1658, dans une lettre 

 à Digby, il dit posséder la démonstration complète de 

 •certaines propositions ; par contre, il donne les propo- 

 sitions suivantes comme vraies, mais dont, Gonon fran- 

 çais, il attend les démonstrations des Archimèdes anglais; 



\.° Tout nombre 2^ -|- 1 où a =- 2° est premier. 



Il ajoute : « Je demande une démonstration de cette 

 proposition que je crois très vraie, et grâce à laquelle 

 on peut résoudre immédiatement un problème autrement 

 très difficile, savoir : étant donné un nombre quelconque, 

 trouver un nombre premier qui soit plus grand. Et cela 

 donnera peut-être à vos éminents correspondants la clef 

 pour pénétrer tout le mystère des nombres premiers.... » 



Enfin, dans une lettre très importante, adressée à 

 Carcavi en août 1659, qui contient sommairement le 

 compte de ses rêveries sur le sujet des nombres (ce 

 sont ses propres mots), il expose d'abord sa manière 

 de démontrer : 



« ....Et pour ce que les méthodes ordinaires, qui 

 sont dans les Livres, étaient insuffisantes à démontrer 

 des propositions si difficiles, je trouvai enfin une route 

 tout à fait singulière pour y parvenir. J'appelai cette 

 manière de démontrer la descente infinie ou indéfinie; 

 je ne m'en servis au commencement que pour démontrer 

 les propositions négatives, comme, par exemple : 



Qu'il n'y a aucun nombre, moindre de l'unité qu'un 

 multiple de 3, qui soit composé d'un carré et du triple 

 d'un autre carré. 



Qu'il n'y aucun triangle rectangle en nombres (en- 

 tiers) dont l'aire soit un nombre carré. 



