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Nous venons d'obtenir précisément la formule (1). 

 Il s'agira maintenant d'étendre cette formule (démontrée 

 ici pour un secteur annulaire) à une aire de forme 

 quelconque. L'extension suivante est immédiate. 



Juxtaposons (fig. 5) deux secteurs annulaires BB^BjBg, 

 DDiDoDg de même centre 0, d'aires respectives S], S.,. 

 Plaçant toujours le centre du planimètre au point 0, 

 soient n^, n.2 les déroulements obtenus lorsque le style 

 parcourt les contours de chacun des secteurs dans le 

 sens BBi ...., DD^ .... . (9) nous donne 



■d'où Si + So = Ä; (Wi -\- n.y). 



Or, Sx+So n'est autre chose que l'aire S limitée 

 par le contour BBiDDiDaDgBgBgB. La formule (9) sera 

 donc étendue à l'aire formée par la juxtaposition de 

 deux secteurs annulaires de même centre, si nous mon- 

 trons que % -|- rio est égal au déroulement n relatif au 

 contour BB^D .... B de l'aire S. Il en est bien ainsi, car 

 la somme des déroulements n^ + ^2 ne diffère du dérou- 

 lement n que par les deux déroulements de sens con- 

 traire relatifs au segment DBo commun au contour de 

 Si et de Sg. Par conséquent % + Uo =^n, et donc S = Ä;n. 



L'extension de la formule (9) à l'aire formée par la 

 juxtaposition d'un nombre quelconque de secteurs annu- 

 laires de même centre est une conséquence immédiate 

 de sa validité pour l'aire formée par la juxtaposition 

 de deux de ces secteurs. 



6. Le cas d'une aire quelconque. — Supposons 

 d'abord le centre du planimètre à l'extérieur de l'aire. 

 Il est possible, par juxtaposition de secteurs annulaires 

 de centre 0, de construire une aire S' limitée par un 



