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contour B^BaBo.... ßn B^ (fig. 6), de telle sorte que l'écart! 

 radial maximum du contour de S et du contour de- 

 S', et par conséquent la difTérence S — S', soient aussi 

 petits que l'on veut. Si n est le déroulement de la 

 roulette lorsque le style décrit le contour de S', nous 

 savons que S'=few/. Or, plus l'écart radial diminue, 

 plus le contour de S' se rapproche de celui de S, plus, 

 par conséquent, le déroulement n est approché ^ du 

 déroulement n relatif au contour de S. A la limite 

 donc, en envisageant pour ainsi dire l'aire S comme 

 formée par la juxtaposition d'une infinité de secteurs 

 annulaires d'amplitude infiniment petite, il viendra encore 

 S =-- ^ fî. La formule (1) est donc démontrée pour une 

 aire quelconque. 



Si le centre du planimètre est à l'intérieur de 

 l'aire S, il n'est plus possible d'approcher à la fois 

 l'aire et son contour par juxtaposition de secteurs annu- 

 laires. Décrivons un cercle de centre et de rayon R, 

 entièrement intérieur à l'aire donnée. Relions, par un 

 segment rectiligne, un point P de ce cercle à un point 

 Q du contour de l'aire S, Faisons suivre au style le 

 contour PQMNQPM'NT (fig. 7) qui enferme l'aire annu- 

 laire comprise entre le cercle et le contour de S. Cette 

 aire annulaire est égale à S — or R^ quand le cercle 

 est décrit dans le sens négatif (sens des aiguilles d'une 

 montre), donc quand le contour QMNQ de S est décrit 

 dans le sens positif. Elle est égale à S-j-^R"^ quand le 

 contour de S est décrit dans le sens négatif. A cette 

 aire annulaire, à laquelle le centre du planimètre 



^ Nous admettons ici implicitement — nous l'avons déjà fait 

 plus haut — que lorsqu'une courbe variable a pour limite une 

 courbe fixe, le déroulement relatif à la coui'be variable a pour- 

 limite le déroulement relatif à la courbe fixe. 



