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seule démonstration que Fermât nous ait laissée de- 

 l'un de ses théorèmes numériques. Voici la traduction- 

 littérale de cette note, suivant de près le texte latin 

 de Fermât ^ : 



« L'aire d'un triangle rectangle exprimé en nombres 

 entiers ne peut être égale à un carré. Nous placerons 

 ici la démonstration de ce théorème de notre invention,- 

 que nous avons découverte après une laborieuse et 

 pénible méditation. Ce genre de démonstration produira 

 de merveilleux progrès dans les questions arithmétiques- 



— Si l'aire d'un triangle était un carré, on donnerait 

 2 quatrièmes puissances dont la ditïerence serait un 

 carré. — D'où il suit qu'il serait donné 2 carrés 

 dont la somme et îa différence seraient des carrés. — 

 Ainsi sera donné un nombre formé d'un carré et du 

 double d'un carré, qui est égal à un carré, avec cette 

 condition que les carrés qui le composent fassent aussi 

 en somme un carré. — Mais, si un nombre carré est 

 la somme d'un carré et du double d'un autre carré, 

 son côté est pareillement la somme d'un carré et du 

 double d'un carré, comme nous pouvons facilement le 

 démontrer. — D'où il serait conclu que ce côté est la 

 somme des côtés de l'angle droit d'un triangle et qu'un 

 des carrés qui le composent est la base, et que le 

 double carré est égal à la hauteur. Ainsi ce triangle 

 rectangle sera formé de 2 carrés dont la somme et la 

 différence seront des carrés. — Mais on prouvera que 



^ J'ai séparé par un tiret chaque phrase de la démonstration 

 elle-même de Fermât ; à chaque phrase entre tirets de Fermât 

 correspond dans ma démonstration plus loin le résultat que j'ai 

 noté successivement par les chiffres : (1), (2), .... (7) ; ces égalités 

 (1), (2) (7) étant la traduction en signes algébriques des résul- 

 tats que Fermât a exprimés par une phrase. 



