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différente puisque leur somme est a. Ils sont premiers 

 entre eux, car si l'on avait, p étant un nombre premier 

 impair : 



— ^^— = m p et donc a ~{- c = 2. m p 



a — c = m'p a — c ^=^^2 m'p 



2 2 a = 2 m"p 



a {a -\- c) et donc c seraient divisibles par p, contre 



T„ ,, ■ r^ Ci" — C'^ (a-\-c\ (a — c'\ 6- 



1 hypothèse. Comme — ^ — — ( — — I ( — — l = — 



1 1 -a- HT 1 a -]- c . a — c 



*en vertu du chitire 1, les nombres — ^ — et — ^ — 



sont encore des carrés. 



6. L'égalité a' = h^ --j- c- peut ainsi s'écrire : 



a-{- c , a — c\-_ ./a -\-c\ fa 



2 ' 2 / V 2 / V 2 



cX./a-j-c a — cV' 



/~^V~~2 2 ; 



ou plus simplement, puisque — ^ — et — ^ — sont des 



carrés : 



(I) {p^- + qr = ^P' q' + ip' - qr où p > q 



Réciproquement les 3 nombres de la forme p^ -^ q-,, 

 2p q, p^ — q^, où p et g sont 2 entiers positifs quel- 

 conques, avec la seule condition p'> q, sont toujours 

 les 3 côtés d'un triangle rectangle en nombres entiers, 

 puisqu'ils vérifient nécessairement l'égalité précédente. 

 Par conséquent cette formule (I), où p et g sont toutes 

 les combinaisons possibles de 2 entiers positifs avec 

 p > g, contient tous les triangles rectangles en nombres 

 entiers possibles. Fermât appelle le triangle de côtés 

 p^ + ö^ 2 P Q.' P^ — Q"» formé des nombres p et q: 

 il prend pour base du triangle le côté impair p^ — q-,. 

 et le côté pair 2 p g pour hauteur. 



