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Démonstration. 



Si -TT = m- on aura successivement 



2 



4 62 c2 = 16 m^ 



a^ — 16 m^ = (62 - c^)-^ 

 ou, en employant les lettres a, ß, y, en remarquant que 

 ß est pair : 



a^ — ßi^y-i (1) 



On peut toujours, sans que la forme de l'égalité 

 change, rendre a, ß, y, premiers entre eux 2 à 2, s'ils 

 ne le sont déjà, et écrivons mieux : 



(«2)2 ^ (^2)2 + y2 



D'après le chiffre 4 plus haut, les nombres {a'~ -j- ß'^) 

 et («2 — ß'^) sont impairs et carrés, c'est-à-dire : 



a- -]- ß'^ = m^ m et n impairs 



«2 _ ^2 ^ ,^2 (2) 



Il s'ensuit 2 ß'^ = m'^ — n- 



C'est-à-dire m^ = 2 /S^ + n^ 



«2 = ^2 _|_ ^2 (3) 



Dans l'égalité 2 /S- =: m- — n^ on rend m, n et ß 

 premiers entre eux 2 à 2, s'ils ne le sont déjà. Par le 

 même raisonnement employé deux fois déjà aux, chiffres 

 4 et 5, on montre alors que {ni + n) et (m — n) n'ont 

 aucun facteur commun impair ; d'autre part, {m -|- n) 

 et (m — n) sont pairs ; mais un seul des deux contient 

 le diviseur 4, autrement, leur somme étant 2 m, m ne 

 pourrait être impair, Si {m — n) est celui des deux 

 nombres qui contient le diviseur 4, en vertu toujours 

 du chiffre 1 plus haut, on peut écrire ; 



m -\r n=^2 ß"^ 

 m — n = ^"2 

 D'où 2m=:2/5'2-f /5"2 



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