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 où ß''^ est un nombre impair et ß"^ est divisible par 4, 



"9 



ß' 



En faisant ß'"^^ = —r- il vient: 



' 4 



w = /5'2-[-2^"'2 (4) 



La somme des carrés des 2 termes de droite devient : 



ß'^-{-4^ß"'^=7n'^—4^ß'^ß'"'-=m'—ß'^ß"''=m^—ß'=a' (5) 

 G'est-àdire ß'^- et 2 ^'"^ sont les 2 côtés de l'angle 

 droit d'un triangle rectangle ; ß'^ est le côté impair ou 

 la base, et 2 ß'"- est le côté pair ou la hauteur. On 

 peut donc poser : 



Si p et q ont un facteur premier commun, les 2 

 égalités ne changent pas de forme en les divisant cha- 

 cune par ce facteur au carré ; on rendra ainsi p et q 

 premiers entre eux, et par le fait, p, q et ß' premiers 

 entre eux 2 à 2. En vertu du chiffre 1 du début, p et 

 q sont ainsi des carrés ; puisque p^ =:: q^ -\- ß'^^ où ß'"- 

 est impair et q^ pair, en vertu du chiffre 4, [p ~\- q) et 

 {p — q) sont impairs et carrés. Le triangle en question 

 est donc formé de 2 carrés p et q dont la somme et 

 la différence sont des carrés (6). On a maintenant sans 

 autre ; 



p + q£ß"'^ß' < a"' -1- ß' (7) 



et ainsi la proposition numérique de Fermât est dé- 

 montrée. 



