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E. : 



Manifestement, l'ensemble Eo est une partie propre- 

 ment dite de E^. Tout nombre de Eo appartient à E^ ; 

 par contre, les nombres 



1 1 1 _J_ 



de El n'appartiennent pas à Eo. Malgré cela, E^ et Eg 



ont même puissance, car si l'on fait correspondre au 



1 1 



nombre — de E, , le nombre t^ de E,, la correspondance 

 n 2n 



ainsi définie réalise toutes les conditions exigées plus 

 haut pour l'équivalence. La notion de puissance, qui 

 constitue pour les ensembles infinis, l'extension de la 

 notion de nombre cardinal admet donc un résultat tel 

 que celui-ci : La partie E2 d'un ensemble infini E^ a 

 même puissance que E,. Pour les ensembles infinis, la 

 partie peut donc être équivalente au tout, ce qui est 

 impossible pour les ensembles finis. 



Y a-t-il des ensembles infinis, qui n'ont pas la même 

 puissance? La réponse est affirmative. L'ensemble infini 

 le plus simple est l'ensemble N de tous les nombres 



entiers : 1, 2, 3, , n,.... Tout ensemble M qui a même 



puissance que lui est dit dénomhrable, car la corres- 

 pondance que l'on peut alors établir entre M et N fait 

 correspondre à tout élément de M un et un seul élé- 

 ment de N, c'est-à-dire un et un seul numéro n et 

 réciproquement à tout nombre ou numéro n correspond 

 un et un seul élément de M. Un ensemble dénombrable 

 n'est donc pas autre chose qu'un ensemble infini dont 

 on peut numéroter tous les éléments. 



