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Divisons un segment de droite de longueur 1 en 3 

 parties égales et enlevons de ce segment la partie mé- 

 diane (plus précisément, enlevons tous les points inté- 

 rieurs et les 2 points extrémités de cette partie mé- 



1 

 diane). Cela fait, il reste 2 segments de longueur ^. On 



opérera sur chacun de ces segments comme on l'a fait 

 sur le segment initial. On obtiendra de la sorte 4 seg- 

 ments de longueur ^. En continuant surs ces egments 



y 



indéfiniment la même opération, on pourra se demander 

 s'il restera après cela des points qui n'auront pas été 

 enlevés ; en d'autres termes, y a-t-il sur le segment de 

 longueur 1 des points extérieurs à toutes les parties 

 médianes que l'on enlève ? La réponse est affirmative. 

 Non seulement il existe de tels points, mais encore il 

 y en a une infinité non dénombrable : leur ensemble a 

 encore la puissance du continu. Si l'on remarque que 

 la somme des longueurs de toutes les parties médianes 

 enlevées est égale à 



3 3- 3'' 3n+l 



on arrive au résultat paradoxal suivant : après avoir 

 enlevé d'un segment de longueur 1 tous les points d'une 

 iiifinité de segments partiels extérieurs les uns aux 

 autres et dont la somme des longueurs est égale à 1 

 (longueur du segment initial), il reste encore sur ce 

 segment une infinité de points de même puissance que 

 celle de l'ensemble de tous les points du segment. 



