1880.] Inverse Elliptic Functions. 363 



and then the integral becomes 



2 r d(i) 



V(a - c . 6 - c^) j V(l - ^' sin' (/>) ' 

 Ix — d .a — b 



>\J{a — c.b — d) ^ \l x—b .a — d 



2 . /x — c.a — b 



arofdn 



\/ {a — c.b — d) ^ \ x — b.a — c 



'2^\/{x — a.x — b.x — c.x — d.a — c.b — d) 



-aro-sn- 



isj{a-c.b—d) ° {a + b-c-d)x^—^ab-cd)x + ab[c-\-d)—cd(a-{-by 

 if CO > ^ > a, or cZ > a; > — oo , 



6 — c . a— cZ 



and P = 



(11) 



a — c . b — d' 

 dx 



\/{x — a.x — b.x — c.x — d) 



2 Ix-c.b-d 



arof sn 



arsf en 



rff dn . , , 



2 \/(x — a.x — b.x— c.x — d.a — c.b — d) 



~ f^ {a-c.b — d)""'^'^^ —{a+b—c—d)x^+2{ab—cd)x-ab{c+d)+cd{a+b)' 



if ' a> x> b, 



b — c . a — d 



and k 



(12 



a — c.b—d 

 dx 



j fj- (x — a.x — b.x — c.x — d) 



2 / /x — d.a — c /a — b. c — d' 



arsfsn 



^J (a—c.b — d) ^ \\/ a — x.c — d^ \/ a — c.b — dj' 

 if c > x> d. • 



Q3) [ dx 



' J V— (x — a.x — b.x — c.x — d) 



_ 2 / /x — b . a — c /a — b.c — d\ 



~ V(a - c . 6 - d) ^^^ ^^ VV a;-c. a-6 ' V a-c.b-d) ' 



if . a> x> b. 



