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(e) 7-4" (G +/) - -^^^=¡^ -G^ = o =f{x,y,y,G) (*), 

 2 x2 



siendo esta ecuación la integral primera (4) de Serret. 

 En efecto, se tiene 



2x^y — x^Gi /) — 2 (G2 — 2/G + /2) _ 2x2G2 = o, 

 de donde 



+ 2g2(1 +x2) = o. 



(*) Se puede deducir esta integral primera, de (a), suponiendo 

 y' — xy" = G, en el concepto de descomponer la ecuación (a), del 

 modo siguiente: 



y--Lxy' Lx(y-xy") — (y' — xy'y — y"^ = o, 



de donde resulta inmediatamente: 



V - — (Q 4- V') - -ÍS^^ — G2 = 0. 



Para justificar que cabe suponer y' — xy" = G, se puede derivar la 

 ecuación (a), resultando: 



y' — y' — xy" + xy" + — x^y"'— 2(y'—xy") (y"— y"- xy"') — 



~2y"y"'=-o. 

 Al reducir, se obtiene 



y"'(—x^-{-2{y' — xy")x-2y"\ = o. 



Esta igualdad queda satisfecha, siendo y"' = o, igualdad que pue- 

 de transformarse en la siguiente por valores finitos de x; — xy'" = o, 

 cuya integral se resuelve en y' — xy" = G. 



