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; Así, pues, entendemos que nuestro método, aparte de su 

 uniformidad y sencillez, gana en seguridad respecto á los an- 

 teriores, contando siempre con la ecuación diferencial á que 

 se refiere la integral singular. 



Escogeremos el mismo ejemplo anterior para que se pue- 

 da apreciar mejor la ventaja que presenta este procedimien- 

 to, con relación á los ya explicados. 



Sea la ecuación 



S{^> y, y\ y")=y - ^y' + ~x^y"-{y'-xy"f-y"^=o. (a) 



La derivada que hemos de generalizar aquí es y"\ luego, 

 según la teoría ya explicada para las ecuaciones diferencia- 

 les de primer orden, se tendrá 



/ (^, y, y\ G) - j^ — xj;' + — - x^G — (y' — X G)2 — g2 = o 



y en virtud de 



3/ _ 



resulta 



3g 



-^x2 + 2x(/ — XG) — 2g = o, 



de donde 



x^ + ^xy' 

 4(1+ x2) 



g = 



Este valor de (g), sustituido en (a), da inmediatamente la 

 ecuación hallada 



/^i(^.yy) = 16(1 +x2)3; + x4-8(x3-f2x)/ — 16/2 = 0,(6) 

 la cual constituye la primera integral singular de {a). 



