- 253 -^ 



Notable es el ejemplo siguiente que presentan algunos 

 autores para apreciar la multiplicidad de soluciones que una 

 misma ecuación puede ofrecer. 



Sea la ecuación 



F{x,y,z,GuG,) = {x-G,Y + {y.-.G,f-{-z^-r^ = o,{l) 



representante de varias esferas de radio r, cuyo centro se 

 halla en el plano xy, y que pueden variar de posición según 

 sean los valores de las constantes Gi y Gg, siendo el radio 

 el mismo para todas las esferas. 



La ecuación entre derivadas parciales que corresponde 

 á (1), se hallará tomando sus derivados según xéy;áe don- 

 de resulta 



, ^Z ,92 



(2) x — Gi-\-z — = o,y--G^-{-z — = 0. 



dx dy ■ . 



Así, pues, al sustituir en (1) los valores de Gi y G2 de (2), 

 se tiene 



mh&h •] 



r^ = 0, 



ó bajo otra forma más reducida, y admitida por el uso, 



(p2 4-^2^1)2:2_,2_o. (3) 



Si suponemos ahora en (1), como integral completa de (3), 



dF dF 



= 0, - — = 0, 



3Gi aog 



ó sea 



X — Gj = o, y — G2 = o, 



resulta inmediatamente la integral sigular. 



z2 = rV 



