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conserve constantemente positiva para valores cualesquiera 



reales, no todos nulos, de Xi, Xj, , Xm-i- 



Teniendo en cuenta lo demostrado en (3), esto equivale á 

 que sean positivos los números 



Al = So, A2 = 



So Si 

 Si S2 



S(\ Si 



Si S9 



>7n-l 



Sm— 1 ^m S2m-2 



= A. (VI) 



Nota. — Haciendo uso de las propiedades primeras de 

 las formas canónicas, y de la ley de inercia de las formas 

 cuadráticas, puede establecerse todo lo expuesto en esta úl- 

 tima aplicación como corolario de este teorema: El número 

 de pares de raíces imaginarias de la ecuación (/), es igual al 

 número de variaciones que presenta la serie ( VI). 



Pueden seguirse dos caminos: 



La expresión de las funciones de Sturm de la ecuación (I), 

 según el teorema de Sylvester (*), es, prescindiendo de co- 

 eficientes positivos, 



Mx) = S -¿^^ ^„ Mx) = s í^ ^ A„ 



1 x — ai 1 (x — a/)(x — cy) 



•,A(^) = A« = A; 



siendo, por tanto, los coeficientes de las potencias más ele- 

 vadas de X, los números (VI). Aplicando el teorema de 

 Sturm, resulta inmediatamente que el número de pares de raí- 

 ces imaginarias, es igual al número de variaciones de la se- 

 rie (V); y la condición necesaria y suficiente para que todas 



(*) Philosophical Magazine, 1839, y Journal de Liouville, 1862. 

 Puede verse la demostración completa en el Cours d' Algebre Supe- 

 rieare, de Serret, 4.e edit. 1. 1., y en las Legons d' Algebre Sapérieure, 

 de G. Salmón» Trad. de Chemin, París, 1890, pág. 73, 



